Традиционные методы вычислительной томографии (стр. 1 из 6)
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Федеральное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Д.Н. Карпинский
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к разделу «Традиционные методы вычислительной томографии» спецкурса «Применение томографических методов в медицинской диагностике»
для студентов специальности «Прикладная математика»
Ростов-на-Дону
2007
Печатается по решению кафедры теории упругости факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, протокол N1 от 10 сентября 2007 года.
Методические указания разработаны доктором физико-математических наук, профессором кафедры теории упругости Д.Н.Карпинским.
1. ВВЕДЕНИЕ
Томография - одно из бурно развивающихся направлений в области получения и обработки информации. Томография позволяет заглянуть внутрь наблюдаемого объекта. Основная проблема томографии - как по получаемым в томографическом эксперименте проекционным данным (например, по рентгеновским снимкам) "увидеть" внутреннюю структуру анализируемого объекта. Область математики, в которой разрабатываются методы решения подобных задач, известна как "интегральная геометрия" [1].
Хронология развития вычислительной томографии:
1895 г. – открытие рентгеновских лучей;
1917 г. – преобразование Радона;
1920 г. – рентгенограмма в медицине;
1930 г. – линейная томография, вращательная томография;
1942 г. – РВТ в радиоастрономии;
1961 г. – сверточный алгоритм;
1964 г. – алгоритм РВТ А. Кормака;
1972 г. – серийный томограф Г. Хаунсфилда;
1977 г. – учебный курс по вычислительной томографии в университете штата Нью-Йорк;
1979 г. – Нобелевская премия А. Кормаку и Г. Хаунсфилду.
1.2 В настоящее время существуют следующие виды томографии:
1) рентгеновская томография;
2) радионуклеидная томография;
3) ЯМР – томография;
4) ультразвуковая томография;
5) оптическая томография;
6) протонно-ионная томография;
7) томография в радиодиапазоне;
8) ЭПР - томография.
Особенно важное значение методы томографии имеют для медицинской диагностики [2].
Все виды томографии по свойствам изучаемых объектов можно разделить на два больших класса: трансмиссионную вычислительную томографию (ТВТ) и эмиссионную вычислительную томографию (ЭВТ). В ТВТ внешнее излучение зондирует пассивный (неизлучающий) объект, частично поглощаясь им. В ЭВТ активный (излучающий) объект представляет собой пространственное распределение источников излучения, при этом выходящее вдоль какого-либо направления излучение является суперпозицией излучений всех источников, лежащих на линии проецирования.
Рассмотрим вначале физический закон распространения внешнего излучения в веществе. Пусть тонкий пучок, например
- излучения, с интенсивностью 
падает на слой вещества с распределением линейного коэффициента поглощения (ослабления) 
вдоль распространения пучка. При этом феноменологически определяют через вероятность 
поглощения - кванта при прохождении элементарного пути 
соотношением 
.  |
Рисунок 1. К выводу уравнения переноса излучения (1.1).Стационарное уравнение переноса излучения в чисто поглощающей неоднородной среде, описывающее процесс излучения в веществе, представляет собой баланс частиц или энергии и имеет вид
(1.1)Решением уравнения (2.1) будет закон Бугера-Ламберта-Бэра для неоднородной поглощающей среды, который составляет основу расчетов ТВТ.
, (1.2)где
- интенсивность источника излучения.Рассмотрим теперь закон распространения излучения при действии внутренних источников излучения (самоизлучающие объекты).
 |
Рисунок 2. К выводу закона переноса излучения при действии внутреннего источника.
Пусть точечный источник излучает в телесный угол
с интенсивностью в веществе с распределением линейного коэффициента ослабления вдоль прямой, соединяющей источник с небольшой площадкой 
, наклоненной под углом 
к этой прямой. Тогда для интенсивности 
, приходящейся на площадку , получаем [3] 
. (1.3)Выражение (1.3) учитывает четыре основных фактора: пространственное распределение источника излучения, геометрическое ослабление, ослабление излучения в веществе и наклон площадки детектора. Формула (1.3) лежит в основе ЭВТ.
2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДОНА
2.1 Рассмотрим задачу восстановления двумерного распределения коэффициента ослабления
при просвечивании объекта излучением внешнего источника. Источник излучения проходит дискретно вдоль объекта. Синхронно с источником с другой стороны объекта движется детектор излучения. Набор отсчетов, полученный таким образом, определяет одномерную функцию, называемую проекцией. Затем система «Источник-детектор» поворачивается относительно объекта на некоторый угол 
, и снимает новый набор отсчетов, определяющий следующую проекцию. По полученному набору одномерных проекций необходимо восстановить двумерное распределение . Такую схему измерений называют круговой геометрией измерений, а проекции называют параллельными проекциями.  |
Рисунок 3. Схема кругового сканирования с параллельными проекциями.
Пусть на плоскости, где введена прямоугольная система координат
задана функция 
. Проинтегрируем эту функцию по некоторой прямой, лежащей в данной плоскости. Очевидно, что результат интегрирования, который обозначим 
, зависит от того, по какой именно прямой проводится интегрирование.  |
Рисунок 4. К выводу формул преобразования Радона.
Известно, что всякая прямая может быть описана уравнением
, (2.1)где
- расстояние от начала координат до этой прямой; 
- угол, образованный с осью 
перпендикуляром, опущенным из начала координат на эту прямую.Произвольная прямая
однозначно задается двумя параметрами и . Поэтому и результат интегрирования функции по некоторой прямой будет зависеть от этих же параметров, т.е. 
. Предположим, что функция интегрируется по всевозможным прямым. Подобное интегрирование можно также рассматривать как некоторое преобразование, которое данной функции на плоскости ставит в соответствие функцию на множестве всех прямых, задаваемую интегралами от вдоль прямых. Это преобразование называют преобразованием Радона [4,5], а функцию часто называют образом функции в пространстве Радона или проекцией, которая в обозначениях (1.2) имеет вид