Традиционные методы вычислительной томографии (стр. 5 из 6)

Для реконструкции функции

заданной в круге единичного радиуса, нужно по полученным проекционным данным рассчитать величины

, (4.5)

где

- полиномы Чебышева второго рода.

Затем в равенство (4.1) вместо

подставить найденные значения ,а в качестве использовать (4.3). При таких условиях последующее суммирование всех членов получившегося ряда позволяет реконструировать искомую функцию, так что

, (4.6)

где

и - полярные координаты в плоскости , .

Чтобы разобраться, почему суммирование в (4.6) по индексу

проводится от до , достаточно вспомнить, что все коэффициенты при равны нулю. Выбор полинома Чебышева приводит к тому, что коэффициенты обладают еще одним свойством: они также равны нулю, когда сумма их индексов является нечетной. Это следует непосредственно из формулы (4.5), если учесть два обстоятельства:

1) согласно (2.8)

;

2) полином Чебышева четного (нечетного) порядка является соответственно четной (нечетной) функцией своего аргумента.

Объединяя оба условия, имеем

, если или нечетно. (4.7)

Полезно также вспомнить, что для используемых полиномов Чебышева второго рода, которые определяются формулой

, (4.8)

(4.9)

так что эти полиномы ортогональны на отрезке [- 1, 1] относительно весовой функции

.

Учитывая (4.9), можно показать [5], что

. (4.10)

Сопоставляя (4.6) и (4.10), видим, что, как искомая функция

, так и ее радоновский образ , выражаются через двойные суммы по индексам и , в которых используются одни и те же коэффициенты , но разные последовательности ортогональных функций.

Пример

Пусть

, ее радоновский образ находится по (2.7) при и оказывается равным

.

Согласно (4.5), если

то (из-за центральной симметрии функции), а для получаем значения коэффициентов разложения

=

=

Выполняя суммирование в (4.6) с данными коэффициентами получим приближенное значение исходной функции изображения

.

5. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФОРМУЛ ОБРАЩЕНИЯ

Обычно вместо точной проекции

известна искаженная проекция

, (5.1)

где

описывает соответствующую случайную погрешность,

проявляющуюся в данном случае в виде аддитивной добавки. Тогда задачу реконструкции можно переформулировать следующим образом: требуется по приближенным проекционным данным найти приближенную функцию

, которая в каком-то смысле хорошо описывала бы искомую функцию . Непосредственная подстановка "зашумленных" проекционных данных [7] в указанный вычислительный алгоритм приводит к большим искажениям в . Дело в том, что задача реконструкции относится к так называемым некорректным задачам [8]. Физическая суть "некорректности" проявляется в том, что если пользоваться точным решением некорректной задачи, то даже при небольших искажениях в исходных данных это решение может существенно отличатся от искомой функции . Устранить это нежелательное явление можно, регуляризируя формулы обращения. В методах, основанных на преобразовании Радона (раздел 2) для этого достаточно "подавить" влияние высоких частот в , что можно, например, достичь умножением на регуляризующие функции . Обычно регуляризующие функции выбирают в следующем виде:

; (5.2)

; (5.3)

(5.4)

Постоянная

называется параметром регуляризации и подбирается эмпирически при расчете. Чем больше интенсивность ожидаемых искажений, тем больше должно быть значение параметра .

Формулы обращения преобразования Радона (2.25) с учетом регуляризации получаются путем замены

на , а (2.32) такой же заменой в (2.29).

Что касается метода ортогональных полиномов (раздел 4), то описанный выше алгоритм реконструкции функции

является точным в том смысле, что если ее радоновский образ известен точно, то по нему, в принципе, можно найти точные значения всех коэффициентов и далее по формуле (4.6) осуществить точное восстановление искомой функции. Однако на практике реализовать подобное точное восстановление невозможно. Этому препятствуют, по крайней мере, две причины. Первая кроется в самой сущности обсуждаемого алгоритма, ибо, для того чтобы он был точным, необходимо согласно (4.6) в общем случае определить бесконечное число членов . Вторая связана с невозможностью точного измерения радоновского образа. В результате определяемые по нему коэффициенты будут отличаться от их точных значений .

Таким образом, в реальном алгоритме восстановления участвует ограниченное число членов ряда (4.6). Для определенности в дальнейшем будем считать, что ограничение проводится по индексу

, так что . Этого условия достаточно, так как в силу (4.7) оно однозначно определяет конечное число всех отличных от нуля коэффициентов . Изменяя порядок суммирования в (4.6) и делая его аналогичным (4.10), имеем