Геометрические задачи приводящие к дифференциальным уравнениям (стр. 1 из 5)

При изучении геометрических задач не всегда удается непосредственно установить прямую зависимость между величинами, описывающими тот или иной эволюционный процесс. Однако в большинстве случаев можно установить связь между величинами (функциями) их изменения относительно других (независимых) переменных величин, т.е. найти уравнения, в которых неизвестные функции входят под знак производной. Эти уравнения называют дифференциальными.

Простейшим примером дифференциального уравнения является уравнение

где f(x) – известная, а y=y(x) – искомая функции независимого переменного х. Решения этого уравнения называют первообразными функциями для функции f(x). Например, решениями дифференциального уравнения

являются функции

где С – произвольная постоянная, причем других решений это уравнение не имеет.

Характерное свойство дифференциальных уравнений – иметь бесконечное множество решений. В этом смысле приведенный выше пример типичен. Поэтому, решив дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию некоторого процесса, нельзя одновременно найти зависимость между величинами, характеризующими данный процесс. Чтобы выделить из бесконечного множества зависимостей ту, которая описывает именно этот процесс, надо иметь дополнительную информацию, например, знать начальное состояние процесса. Без этого дополнительного условия задача неопределенна.

Рассмотрим несколько конкретных задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

Огибающие

Допустим, что нам известно для некоторого дифференциального уравнения F(x, у,

)==0 (1) семейство

F(x, у, С)==0 (2)

интегральных линий, которое покрывает некоторую замкнутую область G плоскости (х, у) так, что через каждую точку такой области проходит по крайней мере одна линия этого семейства. Требуется найти такую проходящую по G линию L, которая в каждой своей точке касается некоторой линии семейства (2) и каждого куска которой касается бесконечное множество линий этого семейства[1]. Такая линия L называется огибающей семейства (2). Очевидно, огибающая семейства интегральных линий будет также интегральной линией уравнения (1), так как в каждой её точке она касается некоторой интегральной кривой и, следовательно, имеет направление поля. Относительно функции F (х, у, С) нам придётся предположить, что она имеет непрерывные производные по всем своим аргументам, и сделать ещё некоторые другие предположения, о которых будет сказано несколько позже и которые в нашем тексте напечатаны курсивом.

Допустим, что искомая линия существует. Так как она в каждой своей точке (х, у) касается некоторой линии

[значок С указывает то значение параметра С, при котором уравнение этой линии получается из общего уравнения (2)], то координаты её точек удовлетворяют уравнению F(x, у, С(х, у)) =0, где теперь С уже не постоянно, но в каждой точке линии L принимает свой значение (именно равное тому С, которое соответствует линии

). Будем рассматривать только такой кусок линии L, где у есть дифференцируемая функция от х (точно так же можно исследовать куски, где х есть дифференцируемая функция от у). Тогда можно считать С в предыдущем уравнении зависящим только от х и переписать это уравнение в следующем виде:

F(x,y, C(x)) = 0. (3)

Допустим, что функция С(х) дифференцируема, не постоянна ни в каком интервале рассматриваемых значений х и нам известна. Найдём тогда из уравнения (3) значение у' для удовлетворяющей этому уравнению функции у от х. Продифференцируем для этого уравнение (3) по х, считая у функцией от х. Получим

С другой стороны, если бы мы нашли у' для проходящей через ту же точку (х, у) линии

семейства (2), мы получили бы

Чтобы определяемые из обоих уравнений значения у' (определить у' из этих уравнений можно, если

) были одинаковы (т. е. чтобы в этой точке линия (2) и линия (3) имели общую касательную), необходимо, чтобы было

Чтобы это произведение было равно 0, надо, чтобы по крайней мере один из его множителей обращался в 0. Если

на некотором интервале, это будет означать, что С постоянно, что противоречит предположению. Поэтому для огибающей должно быть

(4)

Легко видеть и обратное: именно, что, если при сохранении всех сделанных допущений относительно F(x, у, С) уравнения (3) и (4) определяют у(х) и С(x), как дифференцируемые функции от х, причём С(х) ни в каком интервале рассматриваемых значений х не постоянна, то у = у(х) будет огибающей семейства (2).

Замечание 1. Так как в постановке задачи х и у были совершенно равноправны, то в её решении роли х и у можно поменять.

Замечание 2. Огибающая семейства интегральных линий некоторого дифференциального уравнения 1-го порядка всегда является существенно особой интегральной линией для этого уравнения, так как из каждой её точки по одному направлению выходят по крайней мере две интегральные линии.

Пример 1. На всей плоскости (x, y) дано семейство кривых

(5)

Оно состоит из кубических парабол, полученных из одной

сдвигом, параллельным оси

Приравнивая

нулю, получим

. Отсюда С = — х. Подставляя это в уравнение семейства, получим линию у = 0, которая, очевидно, является огибающей семейства (5)

Замечание. Если бы мы написали уравнение нашего семейства в виде

то было бы

= -1 и наш метод не дал бы огибающей, которая на самом деле существует. Это происходит потому, что теперь

не существует при у = 0.

Пример 2. На всей плоскости (х, у) задано семейство кривых

(6)

Приравнивая нулю

, получим

Отсюда С= -x. Подставляя это в уравнение (6), получим у = 0.

Но легко видеть, что ось x-ов не является огибающей семейства (6) (см. рисунок). Это происходит только потому, что при у = 0

Пример 3. Семейство окружности

(7)

покрывает полоску между прямыми х = ±1. Приравнивая нулю

, получим 2(у + С) = 0. Отсюда С = -у. Подставляя это вместо С в уравнение семейства, получим х = ±1.