Геометрические задачи приводящие к дифференциальным уравнениям (стр. 5 из 5)

или

λdL

Это приводит к теореме:

Как бы мы не изменили кривую y = f(x), изменяя ее длину или нет, величина dA

λdL никогда не является положительной. Но если dA

λdL не положительно, то А

λL не может быть больше для новой кривой, чем для прежней. Мы можем, следовательно, высказать полученную теорему в более выразительной форме:

Кривая, для которой величина А наибольшая по сравнению с кривыми той же длины, делает наибольшей величину А

λL. по сравнению с кривыми произвольной длины.

Поэтому решить задачу максимума для А с ограничением, что длина кривых сравнения L , равна Lo, — то же самое, что решить задачу максимума для А

λL без всяких ограничений на кривые сравнения. Правда, правильное решение задачи получится только в том случае, если λ выбрана правильно, а так как невозможно определить λ, не зная решения задачи, то может показаться, что мы ничего не достигли нашим рассуждением.

Мы увидим, однако, что, предполагая пока λ неизвестной постоянной, мы найдем в дальнейшем способ ее определения. Итак, интеграл, максимум которого требуется найти, есть:

Обычные преобразования приводят к дифференциальному уравнению:

решение которого

=λ

Это — уравнение круга, радиуса λ, с центром в точке (α, β). В него входят три произвольных постоянных α, β и λ, но мы имеем три условия для их определения, так как кривая должна проходить через точки (0,0), (X, 0) и должна иметь длину L.

Простейший способ определения постоянных— геометрический. Известно, что центр круга, проходящего через две точки А и В, лежит на перпендикуляре, делящем хорду АВ пополам. Отсюда а равняется

. Так как гипотенуза и один из катетов треугольника ADC известны, то легко вычислить другой катет.

Итак, получаем для β значение

. Наконец,

есть величина угла АС В, измеренного в радианах. Угол ACD равен половине этого угла, и его синус равен

Это дает нам уравнение:

откуда можно определить λ. Уравнение трансцендентное и его нельзя решить алгебраическим методом. Его можно решить приближенно путем догадки или с помощью рядов. Так, например, если L равно 1,25 X, λ оказывается равным

, а следовательно, β=-0,234Х. Это как раз тот круг, который изображен на рисунке.

Заключение

Данная курсовая работа состоит из введения, основной части, заключения и списка использованной литературы.

Целью курсовой работы являться рассмотрение геометрических задач и приведение их к дифференциальным уравнениям.

В ходе выполнения данной курсовой работы мы пришли к тому, что часть дифференциальных уравнений разрешимы явно, а часть уравнений явно неразрешимы.

Таким образом, из вышесказанного можно сделать вывод, что цель курсовой работы достигнута.

Список использованной литературы

1. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1984. – 271 с.

2. Богданов Ю. С. Лекции по дифференциальным уравнениям. – Минск: Вышейшая школа, 1977. – 239 с.

3. Еругин Н. П., Штокало И. З., Бондаренко П. С. И др. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. – Киев: Вища школа, 1974. – 471 с.

4. Краснов М. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Высшая школа, 1983. – 128 с.

5. Матвеев Н. М. Дифференциальные уравнения: Учеб. Пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. – М.: Просвещение, 1988. – 256 с.

6. Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – Минск: Вышейшая школа, 1987. – 319 с.

7. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. – Минск: Вышейшая школа, 1974. – 766 с.

8. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: 1952 Ленинград.

9. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1970. – 331 с.

10. Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения, примеры и задачи. – Киев: Вища школа, 1984. – 408 с.

11. Смирнов М. М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. – М.: Наука, 1964. – 205 с.

12. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1972. – 724 с.

13. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. – 724 с.

14. Торнтон Фрай. Элементарный курс дифференциальных уравнений. – М.: 1933 Ленинград.

15. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1979. – 352 с.

[1]Предполагаются различными те линии семейства (2), которым соответствуют различные С.

[2] Она зависит от

, высоты в точке A, которую мы можем сделать произвольной подходящим выбором начала координат.

[3] На самом деле этот элемент есть приращение длины дуги и обозначается в дифференциальном исчислении через Δs. Однако в физических исследованиях, если такое приращение будет стремиться к нулю, пользуются сразу символом диференциала. Это редко приводит к недоразумениям и часто оказывается олез-ным, давая рассуждению большую наглядность.

[4] Т.е. вес на единицу длины.

[5] Это есть, вместе с тем, наименьшее натяжение для точек кривой, а именно — натяжение внизу, где вертикальная компонента натяжения исчезает.

[6] Мы только предполагали ε и

очень малыми. Однако и эти ограничения не необходимы и были сделаны только для упрощения рассуждения.

[7] Если точки О и X слишком близки между собой, то может случиться, что придется протягивать веревку под точками берега вне интервала (OX), и интегралы в написанной форме не верны. Мы не будем рассматривать этих случаев; мы будем считать у однозначной функции х.

[8] Мы пишем ΔA вместо dA, так как хотим сохранить последний символ для приращения площади при переходе к произвольной кривой.