Геометрические задачи приводящие к дифференциальным уравнениям (стр. 3 из 5)

Предположим, что точки А и В соединены произвольной кривой, проекция которой на плоскость ху есть у = у(х). Тогда длина кривой равна:

Минимум этого интеграла мы ищем.

В качестве примера рассмотрим случай параболического цилиндра, изображенного на следующем рисунке; его

z = b

Отсюда

т. е. (1) обращается в

Можно получить из этого интеграла дифференциальное уравнение геодезической линии обычным способом, который был уже подробно разъяснен, так что не стоит этого повторять. Это уравнение будет:

Легко решить это уравнение. Решение дает семейство кривых на поверхности, обладающих тем свойством, что если на какой-нибудь из кривых мы отметим пару точек, то расстояние по этой кривой между этими точками меньше расстояния между ними по любой другой кривой. Если мы хотим найти геодезическую линию, проходящую через две заданные точки, то, выбирая координаты этих заданные точки, точек в качестве граничных значений, можем определить постоянные интеграции в общем решении.

Задача о геодезической линии

Задача. Определить линию наименьшей длины, соединяющую точки (a,

и (b,

по поверхности G(x, y, z) = 0.

Решение. Длина пространственной кривой у = у(х), z = z(x),

определяется интегралом

s(y, z)=

Строим функцию Лагранжа:

F*=

Для определения экстремали получаем систему Эйлера

= 0

которую следует решать с учетом уравнения связи G = 0 и граничных условий.

Задача о криволинейной трапеции с наибольшей площадью

Задача. Среди кривых y, соединяющих точки (a, A) и (b, B), где A, B>0, и имеющих заданную длину l,

,найти такую, чтобы криволинейная трапеция, ограниченная сверху этой кривой, имела наибольшую площадь. Другими словами, найти максимум функционала

s(y)=

при граничных условиях

y(a)=A, y(b)=B

и изопериметрической связи

=l.

Решение. Вспомогательная функция

имеет в данном случае вид

Функционал

является специальным, ибо

не содержит x явно, поэтому вариационное уравнение Эйлера для этого функционала имеет первый интеграл

или

Для интегрирования последнего уравнения введем вспомогательный параметр t, пологая

. Тогда

И поэтому dx= λ cos t dt или x= λ sin t+

Таким образом,

или

Экстремалями являются окружности. Постоянные

обычным образом определяется из граничных условий и изопериметрической связи.

Задача разрешима, если дуга окружности длины l, соединяющая точки (a, A) и (b, B), не выходит из полосы a

Кривая провеса гибкой нерастяжимой нити

В двух точках

на одном уровне и на расстоянии друг от друга подвешена нить. Требуется найти форму, которую примет эта нить под действием силы тяжести. Пусть кривая на рисунке изображает эту форму, и рассмотрим какой-нибудь элемент длины ds[3].

Одно из основных предложений механики состоит в том, что этот элемент должен быть в равновесии под действием сил, действующих на него. Эти силы суть:

a) его собственный вес, являющийся силой, действующей вертикально вниз;

b) натяжение нити в нижнем конце, действующее в направлении касательной в этой точке;

c) натяжение нити в верхнем конце, действующее в направлении касательной в этой точке.

Обозначим наклоны касательных в двух концах через — θ и θ +

, напряжения — через Т и T + dT и линейный вес[4] нити — через т. Тогда, если три силы разложены на их х- и y- компоненты, мы получим соответственно:

Если элемент нити должен быть в равновесии, под действием этих сил необходимо, чтобы сумма компонент X и сумма компонент У были ну лями, т. е.:

Деля почленно эти уравнения, имеем:

Первое из уравнений (1) утверждает, что горизонтальная компонента натяжения одна и та же в двух концах элемента ds.

Так как элемент ds произвольно выбранный, то отсюда следует, что эта компонента одна и та же в каждой точке кривой[5]. Если обозначим ее через k, то (2) примет вид:

Если мы запишем это последнее в виде

и будем приближать ds и dθ к нулю, то левая часть уравнения обратится в производную tan θ. Итак:

Это и есть дифференциальное уравнение искомой кривой, выраженное, как говорят математики, во внутренней форме, т. е. оно выражает длину s, измеренную, начиная с некоторой точки, в функции наклона касательной. Для многих вопросов, однако, внутренняя форма не очень удобна, и поэтому лучше свести ее к обычной декартовой форме. Для этого нужно произвести замену обеих переменных s и θ на х и у, связанных с первыми соотношениями:

Переменное s исключается, если мы заметим, что

Это дает

Дифференцируя первое из уравнении (4) по х, мы получаем:

Результат подстановки будет поэтому:

Упростив (5), получаем:

Это и есть дифференциальное уравнение кривой провеса нити, выраженное в функции декартовых координат х и у.

Поверхность вращения наименьшей площади

Если две точки А и В (см. рисунок) связаны кривой y = f(x) и вся эта фигура вращается около оси x, то кривая образует при этом поверхность вращения.

Площадь этой поверхности зависит от формы кривой, т. е. от формы функции f(x). Существует кривая, обладающая тем свойством, что ее поверхность вращения имеет наименьшую площадь.

Задача состоит в том, чтобы найти уравнение этой кривой. Так как задача похожа на те задачи анализа, где приходится отыскивать точки максимума или минимума кривой, то полезно напомнить рассуждение, при помощи которого такие задачи решаются. Оно состоит в основном из трех шагов.

1) Абсцисса минимальной точки предполагается сначала известной и обозначается, например, буквой х.