Геометрические задачи приводящие к дифференциальным уравнениям (стр. 2 из 5)
Каждая из этих прямых является огибающей семейства (7) (см. рис.).
Допустим, что точки А и В (см. рисунок) соединены тонкой, абсолютно гладкой, проволокой, форма которой изображается кривой y = f(x). Пусть, далее, вдоль этой кривой свободно скользит некоторый груз под действием силы тяжести. Тогда время, в которое этот груз достигнет точки В, будет зависеть от формы кривой. Существует некоторая кривая, для которой груз достигнет точки В в кратчайшее время.
Эта кривая называется «брахистохроной». Задача состоит в том, чтобы найти форму этой кривой.
Для решения задачи необходимо найти выражение, для количества времени, затрачиваемого на скольжение груза по любой проволоке. Удобнее всего использовать для этого три закона из области механики:
1) Потенциальная энергия груза пропорциональна его высоте над поверхностью земли. Фактор пропорциональности равен массе т, умноженной на ускорение силы тяжести g.
2) Кинетическая энергия движущегося тела пропорциональна квадрату скорости. Фактор пропорциональности равен
.3) Сумма потенциальной и кинетической энергии тела постоянна, если они не сообщают энергии некоторому другому телу, Эго положение носит название «принципа сохранения энергии». В нашей задаче отсутствуют силы трения, и значит груз не теряет энергий при скольжении вдоль проволоки. Поэтому сумма его кинетической энергии
и потенциальной энергии mg( 
) есть величина постоянная. Получаем уравнение: 
где α—неизвестная постоянная[2].
Далее, следует отметить, что груз движется все время в направлении касательной к проволоке. Следовательно, v есть скорость, с которой проходится дуга s,
. Подставляя это выражение в (1), находим: 
Следовательно, время пути представляется интегралом:
Выражая ds через х, получаем:
Это и есть тот интеграл, минимум которого мы должны найти. Пусть y = f(x) есть уравнение искомой кривой, а у = f(х) + ε(х) уравнение соседней кривой. Обозначим время движения вдоль этой последней кривой через t+dt, где
Нужно проинтегрировать член, зависящий от
по частям, и принять во внимание, что ε исчезает в концах интервала интеграции. После того, как это будет сделано, подынтегральное выражение сведется к произведению двух множителей. Один из них есть ε, как и ранее, и является произвольным, Так как весь интеграл должен исчезать, то обращается в нуль другой множитель, что приводит к дифференциальному уравнению: 
Возможно решить это уравнение после выполнения указанного дифферен- цирования, но оказывается проще сделать это сразу для уравнения (3). Так как процесс интеграции, который мы сейчас применим, оказывается полезным при решении практических задач, то мы проведем его шаг за шагом.
Прежде всего заметим, что уравнение не содержит х. Поэтому заменяем
эквивалентным ему символом 
. Собирая все члены, содержащие 
, в левую часть, приводим уравнение к виду: 
В левой части уравнения выражение, стоящее перед знаком
почти равно выражению под знаком . Если бы они вполне совпадали, то левая часть была бы произведением функции на ее производную и интеграл от левой части равнялся бы квадрату этой функции. Умножаем поэтому обе части уравнения на такой фактор, чтобы указанное условие было выполнено.Очевидно, что этот множитель есть:
В правой части вместо показателя
войдет при этом 2. Произведя эту замену, мы тотчас же можем проинтегрировать уравнение. Получим: 
Это уравнение легко разрешить относительно
; получим в результате: 
откуда:
Вычисление этого интеграла упрощается, если произвести замену переменного:
при этом интеграл будет равен:
Уравнения (4) и (5) определяют вместе искомую брахистохрону в функции вспомогательной переменной, или «параметра», θ. Если дадим этому параметру частное значение, можем найти значение х из уравнения (5), а соответствующее значение y=f(x) из (4). Очевидно, что давая ряд значений θ, мы получим ряд точек на брахистохроне. Кривая, которая при этом получится, есть циклоида, изображенная на рисунке. Можем исключить θ из уравнений (4) и (5) и получить таким образом кривую в обычной форме:
Но удобнее пользоваться параметрическими уравнениями (4) и (5), вместо этого сложного уравнения.
Задача о брахистохроне с фиксированной абсциссой правого конца
Задача. Среди гладких кривых, начинающихся в точке (а, А)= (0, 0) и оканчивающихся на прямой x = b > 0, найти кривую наискорейшего спуска.
Решение. Время спуска Т(у) на кривой Y=y(x) определяется интегралом
Лагранжевыми кривыми в данном случае являются циклоиды вида
Условие трансверсальности в данном случае принимает вид
Искомая циклоида должна пересекать прямую х=b ортогонально.
Вершина циклоиды необходимо лежит на прямой х=b.
Задача. Среди гладких кривых Y = y(x), начинающихся в точке (а, А) и оканчивающихся на кривой L с уравнением Y= Ф(x), найти кривую наименьшей длины, т.е. найти расстояние от (а, А) до кривой L.
Решение. Длина s(y) кривой
Y = y(x), y(a) = A, y[ β(λ) ] = Ф[ β, λ ]
определяется интегралом
s(y)=
.Лагранжевыми кривыми в данном случае являются, очевидно, прямые
.Условие трансверсальности
принимает вид:
или
1 +
= 0.Следовательно, искомая прямая Y = y(x) должна пересекать кривую L ортогонально.
Из проведенных рассуждений также следует, что отрезок наименьшей длины, соединяющей кривые
и 
должен быть ортогональным и к и к .
Геодезические линии на кривой поверхности
Рассмотрим точки А и В на поверхности, изображенной на рисунке. Среди всех кривых, которые мы можем провести на этой поверхности из точки А в точку В, существует одна кратчайшая. Она называется геодезической. Эту геодезическую линию мы и будем отыскивать. Один из способов определить эту геодезическую есть определение ее проекции на плоскость ху. Уравнение проекции А'В' вместе с уравнением поверхности вполне определяют геодезическую линией. Пусть уравнение поверхности есть z = Ф(x, y).
Тогда, если х и у получат приращения dx и dy, то z получит приращение:
Следовательно, для элемента длины дуги ds имеем:
