Описанная сфера на олимпиадах и ЕГЭ (стр. 6 из 7)

Получим квадратное уравнение

Найдём корни этого уравнения

Корень

не подходит, так как он отрицательный. Высота

Найдём радиус описанной сферы:

Ответ:

Пример 2. В шар вписан прямой круговой цилиндр (рис. 28). Во сколько раз объём шара больше объёма цилиндра, если известно, что отношение радиуса шара к радиусу основания цилиндра вдвое меньше, чем отношение поверхности шара к боковой поверхности цилиндра.

Рис. 28

Решение. Отношение объёма шара к объёму вписанного цилиндра

По условию известно, что

;

–

равносторонний

Найдём отношение объёмов шара и вписанного цилиндра

Ответ: 16:9.

3.4 Примеры заданий ЕГЭ с конусом

Рис. 29

Пример 1. Диаметр основания конуса равен 6 м, образующая наклонена к плоскости основания под углом 60° (рис. 29). Найдите площадь описанной около конуса сферы.

Решение. Пусть С - вершина конуса, О — центр его основания, АСВ - осевое сечение конуса. Поскольку образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60° и СО — высота конуса, то прямая АВ - проекция прямой СА на плоскость основания конуса. Следовательно,

САВ равен углу между образующей конуса и площадью его основания. Поэтому

САВ= 60° и равнобедренный треугольник АВС — правильный. Отсюда следует, что

СА = АВ = ВС = 6м.

Найдем положение центра сферы, описанной около конуса. По определению такой сферы, окружность основания конуса — сечение описанной сферы и вершина конуса лежит на этой сфере. По свойству диаметра сферы, проходящего через центр любого ее сечения, прямая СО перпендикулярна плоскости основания конуса и поэтому центр О₁ описанной сферы лежит на прямой СО. Отсюда следует, что центр О₁сферы, описанной около конуса, есть центр окружности, описанной около его осевого сечения.

В правильном треугольнике

АВС R=O₁C=

(м)

Найдем площадь сферы:

(м²).

Ответ: 48

м².

Рис. 30

Пример 2.В шар радиуса R = 6 см вписан конус высотой h (рис. 30). Выразить объем и боковую поверхность конуса как функции аргумента h.

Решение. Имеем:

где r — радиус основания, L— образующая конуса.

Из

учитывая, что r = ВА – высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, имеем:

r² =

. Или r²

Теперь получаем:

или

Ответ:

Рис. 31

Пример 3. В шар вписан конус, образующая которого равна диаметру основания (рис 31). Найти отношение поверхности конуса к поверхности шара.

Решение. Изобразим осевое сечение конуса, которое пройдет через центр шара. Так как диаметр основания конуса равен образующей, то в сечении получим правильный треугольник, вписанный в окружность (рис. 31). Пустьрадиус шара равен R: тогда

АВ =R

, АD =

Обозначим полную поверхность конуса через S₁, а поверхность шара через S₂. Имеем

откуда S₁: S₂ = 9:16.

Ответ: S₁: S₂ = 9:16.

Заключение

В процессе исследования мы выяснили, что задачи с описанной сферой достаточно часто предлагаются школьникам на ЕГЭ, поэтому умение решать задачи данного типа играет немало важную роль в успешной сдаче экзаменов. Так же задачи с описанной сферой часто встречаются на олимпиадах по математике различного уровня. Соответствующие примеры приведены в нашей работе. На данном этапе мы ограничились рассмотрением задач на комбинацию описанной сферы с пирамидой, призмой, цилиндром, конусом. Подобраны задачи для самостоятельной работы. В процессе выполнения работы нами были использованы следующие методы: работа с научной и научно-популярной литературой, сбор информации в сети Internet, анализ, систематизация, классификация и обработка на компьютере. В настоящий момент результаты представлены в виде реферата. В дальнейшем планируется дополнить работу новыми задачами.

Список литературы

1. Абрамович М.И., Стародубцев М.Т. Математика (геометрия и тригонометрические функции). Учебное пособие для подготовительных отделений вузов – М: Высшая школа, 1976. – 304 с.

2. Войтович Ф.С. Комбинации геометрических тел: (вписанные и описанные шары): Книга для учащихся. – Минск: Народная асвета, 1992. – 160 с.

3. Говоров В.М., Дыбов П.Т., Мирошин Н.В. И др. Список конкурсных задач по математике (с методическими указаниями и решениями): учебное пособие. – второе издание – М: Наука, 1986. – 384 с.

4. Денищева Л.О., Безрукова Г.К., Бойченко Е.М. и др. Единый государственный экзамен, математика, контрольные измерительные материалы – М: Просвещение 2005. – 80 с.

5. Денищева Л.О., Глазков Ю.А., Краснянская К.А. и др. Единый государственный экзамен. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ – М: Интелект-Центр, 2008. – 240 с.

6. Дорофеев Г.В., Потапов К.М., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в вузы – М: Наука 1972. – 528 с.

7. Егерев В.К., Зайцев В.В., Кордемский Б.А. и др. 2500 задач по математике с решениями для поступающих в вузы: – М: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2002. – 912 с.

8. Звавич Л.И., Рязановский А.Р. Геометрия в таблицах – М: Дрофа 2007. – 128 с.

9. Климин С.В., Стрункина Т.В., Пантелеева Е.И. и др. Единый государственный экзамен, тестовые задания – М: Просвещение 2002. – 24 с.

10. Моденов В.П., Дорофеев Г.В., Новоселов С.И. и др. Пособие по математике – М: Издательство Московского университета, 1972. – 404 с.

11. Шувалова Э.З., Каплун В.И. Геометрия: учебное пособие для подготовительных отделений вузов – М: Высшая школа, 1980. – 265 с.

12. http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/2000/06/kv0600solut.pdf

13. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB:%D0%9D%D0%B0%D1%83%D0%BA%D0%B0

14. http://rgp.nm.ru/geometriia/praktika11/zadatcha119.html

Приложение. Задания для самостоятельного решения

1. В пирамиде FABC грани ABFи ABC перпендикулярны, BF:FA=15:11. Тангенс угла между прямой BCи плоскостью ABF равен 5. Точка М выбрана на ребре BCтак, чтоBМ:МC=4:11. Точка Т лежит на прямой FA и равноудалена от точек М и В. Центр сферы, описанной около пирамиды FABC, лежит на ребре AB, площадь этой сферы равна 36

. Найдите объём пирамиды АСМТ. (Ответ: 6)

2. Основанием пирамиды FABCDявляется прямоугольник ABCD. Плоскость AFC перпендикулярно плоскости ABC, тангенс угла FACравен

, тангенс угла между прямой BCи плоскостью AFC равен

. Точка М лежит на ребре BC, ВМ=

BC.Точка L лежит на прямой FA и равноудалена от точек М и C. Объём пирамиды LВDМ равен 72. Центр сферы, описанной около пирамиды FABCD, лежит на плоскости её основания. Найдите радиус этой сферы. (Ответ: 5)