Описанная сфера на олимпиадах и ЕГЭ (стр. 5 из 7)

АЕ= r₁ +r₂, ВЕ =r₁ -r₂,а СЕ = (r₁ -r₂)

Поэтому по теореме Пифагора

АС =

, откуда R=

Ответ:R

3 Примеры заданий ЕГЭ

Рис. 22

3.1 Примеры заданий ЕГЭ с пирамидой

Пример 1. Отрезок РN, равный 8, — диаметр сферы. Точки М, Lлежат на сфере так, что объем пирамиды РNМLнаибольший (рис. 22). Найдите площадь треугольника КLТ, где К и Т — середины ребер РМ и NМ соответственно.

Решение. Пусть О — центр сферы, а R— ее радиус. Поскольку РN = 2R= 8 и точки М и L лежат на сфере, то ОР = ОL = ОN = ОМ = R = 4. Сечения сферы плоскостями РLNи РМN— окружности радиуса R = 4,описанные около треугольников РLNи РМN, причем

РМN=

РLN= 90°, как вписанные углы, опирающиеся на диаметр РN.

Пусть Н — высота пирамиды, опущенная из вершины М, аh— высота треугольника РLN, проведенная к стороне РN. Поскольку точка М лежит на сфере, а плоскость РLNсодержит центр сферы, то Н

R, причем Н = R, если МО

РNL. Аналогично, так как точка Lлежит на сфере, то h

R, причем h= R, если LО

РN.

Отсюда для объема пирамиды РNМLимеем

При этом

если

Таким образом, пирамида РNМLимеет наибольший объем, если треугольники РLNи РМNпрямоугольные, равнобедренные с общей гипотенузой РN, лежащие во взаимно перпендикулярных плоскостях. Так как треугольники LОN, LОР, LОМ, РОМ, NОМ равны по двум катетам, то треугольники LМNи LМР правильные со стороной

NL=РL=ON

Отсюда следует, что медианы LК и LТ этих треугольников равны, причем

LК =

= 2

Треугольник КLТ равнобедренный, и его высота LD является медианой прямоугольного равнобедренного треугольника LОМ. Отсюда

LD =

КТ — средняя линия треугольника РМNи поэтому КТ = 0,5РN=R. Следовательно, площадь S_К_L_Т =

КТ

LD= 4

Ответ: 4

Рис.23

Пример 2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 5, а боковые рёбра наклонены к основанию под углом 60^о. Найдите радиус, описанной вокруг пирамиды сферы.

Решение. Пусть АВСМ указанная пирамида (см. рис. 23) Центр описанной сферы лежит на высоте пирамиды, т. к. пирамида правильная.

Основание высоты пирамиды – центр треугольника АВС, т. е. точка пересечения медиан. Тогда:

СН=

СТ =

СН=

Теперь рассмотрим треугольник МНС. Здесь угол МСН равен 60^о, как угол между боковым ребром МС и основанием АВС. Угол НМС равен30

. МО=ОС как радиусы. Значит, треугольник МОСравнобедренный. Как известно, в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно,

ОСМ =

ОМС = 30

ОСН =

МСН -

МСО = 60

- 30

= 30

Из прямоугольного треугольника ОСН определим гипотенузу ОС, используя связь тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике:

ОС =

Ответ:OC=

3.2 Примеры заданий ЕГЭ с призмой

Рис.25

Пример 1. Основанием призмы служит треугольник со сторонами a, b, c. Высота призмы h (рис 25). Найти радиус описанной сферы.

Решение. Поскольку около призмы описана сфера, то призма прямая и её боковое ребро равно высоте. Радиус окружности, описанной около основания призмы, вычисляется по формуле

Тогда

Ответ:

Рис.26

Пример 2. Радиус шара R. В шар вписана правильная п-угольная призма, высота которой 2h (рис 26). Найти сторону основания призмы.

Решение. Пусть К – центр описанного шара. Имеем: KB=R, OK=h. Пусть ОМ

АВ, тогда

OB=

(из треугольника OKB).

Из треугольника OMB находим

a=2MB=2OB

Итак, a=

Ответ:a=

Рис.27

3.3 Примеры заданий ЕГЭ с цилиндром

Пример 1. Высота кругового цилиндра на 10 больше радиуса основания, а площадь полной поверхности равна 144

. Найдите радиус описанной сферы.

Решение. Радиус описанной сферы

(рис. 27).

Площадь поверхности цилиндра

, 144

144

упростим данное выражение: