Описанная сфера на олимпиадах и ЕГЭ (стр. 2 из 7)
Следствие 2. Около всякой правильной пирамиды можно описать сферу, центр которой лежит на высоте пирамиды или ее продолжении.
Центр сферы, описанной около пирамиды, может находиться:
· с вершиной пирамиды по одну сторону от плоскости ее основания — внутри пирамиды, в плоскости боковой грани (в центре описанной около этой грани окружности), вне пирамиды;
· в плоскости основания — в центре описанной около основания окружности;
· с вершиной пирамиды по разные стороны от плоскости ее основания.
Теорема 3. Если боковые рёбра пирамиды равнонаклонены к плоскости её основания, то около пирамиды можно описать сферу.
Доказательство. Поскольку боковые ребра равнонаклонены к плоскости основания пирамиды, то около основания пирамиды можно описать окружность, а тогда около пирамиды можно описать сферу.
Эту теорему можно сформулировать иначе: если пирамида имеет равные боковые ребра, то около пирамиды можно описать сферу.
Обратная теорема не верна
Теорема 4.Если около пирамиды описан шар, то его центр является точкой пересечений всех плоскостей, проведенных через середины ребер пирамиды перпендикулярно к этим ребрам.
Доказательство. В самом деле, любая точка, равноудаленная от двух вершин пирамиды, прилежащих к одному ребру, лежит в плоскости, проведенной перпендикулярно к этому ребру пирамиды через его середину. Поэтому центр описанного шара, будучи равноудаленным от всех вершин пирамиды, должен находиться в каждой из таких плоскостей, т.е. он является точкой пересечения всех этих плоскостей. При выполнении чертежа школьники часто помещают центр описанного шара наугад, не представив себе достаточно хорошо данной пространственной конфигурации и тем более не проводя никаких рассуждений о положении этого центра. При этом, как правило, центр ставится внутри пирамиды. Между тем центр описанного шара может лежать и внутри, и вне, и на поверхности пирамиды (в зависимости от конкретного вида пирамиды).
Теорема 5. Около усеченной пирамиды можно описать сферу, если и только если выполняется любое из условий:
a) около оснований пирамиды описываются окружности, линия центров которых перпендикулярна их плоскостям;
b) все боковые ребра пирамиды равнонаклонены к плоскости одного из оснований;
c) все боковые ребра пирамиды равны между собой;
d) все боковые грани пирамиды — равнобочные трапеции.
Доказательство. Пусть около оснований данной усеченной пирамиды можно описать окружности, и плоскости этих окружностей перпендикулярны линии их центров. Тогда, как известно, такие две окружности определяют единственную сферу, которая и будет описанной около данной пирамиды.
Пусть, наоборот, около данной усеченной пирамиды описана сфера. Тогда сечения сферы плоскостями оснований пирамиды будут окружности, описанные около оснований. Далее. Прямая, перпендикулярная плоскостям оснований пирамиды и проходящая через центр сферы, пройдет через центры окружностей, описанных около оснований.
Условие a) равносильно условиям b), c),d).
Следствие. Около всякой правильной усеченной пирамиды можно описать сферу.
1.2.3 Описанная сфера и призма
Рис.3
Теорема 6. Около призмы можно описать сферу, если и только если призма прямая и около ее основания можно описать окружность.
Доказательство.
Необходимость. Если призма вписана в сферу, то каждая ее грань вписана в окружность — сечение сферы плоскостью этой грани. Значит, около основания призмы можно описать окружность, и все боковые грани призмы как параллелограммы, вписанные в окружности, — прямоугольники и поэтому призма прямая.
Достаточность. Пусть призма прямая и около ее основания описывается окружность. Тогда окружности, описанные около оснований призмы, плоскости которых перпендикулярны линии их центров, определяют единственную сферу, которая и будет описанной около призмы.
Следствия:
а) около всякой правильной призмы можно описать сферу;
б) около всякой прямой треугольной призмы можно описать сферу;
в) около всякого прямоугольного параллелепипеда можно описать сферу;
Центр описанной около призмы сферы равноудален от плоскостей оснований призмы и может находиться внутри призмы, на ее боковой грани (в центре описанной около грани окружности), вне призмы.
1.2.4 Описанная сфера и цилиндр
Рис.4
Рис.5
Сфера называется описанной около цилиндра, если на ней лежат окружности оснований цилиндра (рис. 4). Около цилиндра всегда можно описать сферу.
.1.2.5 Описанная сфера и конус
Сфера называется описанной около конуса, если на ней лежат вершина и окружность основания конуса (рис. 5). Около конуса всегда можно описать сферу; её радиус равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения конуса. Усечённый конус называется вписанным в шар, если его основания являются сечениями поверхности шара.
2 Примеры олимпиадных заданий
2.1 Примеры олимпиадных заданий с пирамидой
Рис.6
Пример 1. В треугольной пирамиде SАВС ребро ВС равно а, АВ=АС, ребро SА перпендикулярно к основанию АВС пирамиды, двугранный угол при ребре SА равен 2α, а при ребре ВС равен β (рис. 6). Найти радиус описанного шара.
Решение. Рассмотрим пирамиду SАВС, о которой идет речь в условии задачи. Поскольку ребро SA перпендикулярно к плоскости основания, то
ВАS= CAS= 90°, а потому угол ВАС какраз и является линейным углом двугранного угла при ребре SA. Таким образом, в основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом 2α при вершине, а высота пирамиды совпадает с ребром SА.Так как проекции боковых ребер SB и SС на плоскость основания равны, то и сами эти ребра равны. Поэтому грань ВSС — равнобедренный треугольник, и его высота, опущенная из вершины S, попадает в середину К ребра ВС. По теореме о трех перпендикулярах АК — высота треугольника ВАС. Отсюда ясно, что угол SКА — линейный угол двугранного угла при ребре ВС, т. е.
SКА = β.Центр описанного шара лежит на пересечении прямой l, перпендикулярной к плоскости ВSС и проходящей через центр окружности, описанной около треугольника ВSС, с плоскостью, проходящей через середину ребра АSперпендикулярно к нему. Прямая lлежит в плоскости АSК: в самом деле, плоскость ВSС проходит через прямую ВС, перпендикулярную к плоскости АSК, т. е. плоскости ВSС и АSК перпендикулярны; в то же время прямая l перпендикулярна к плоскости ВSС и проходит через линию пересечения этих плоскостей, так что она лежит в плоскости АSК.
Итак, центр шара лежит в плоскости АSК. Вынесем эту плоскость на специальный чертеж. Центр шара О будет тогда лежать на пересечении прямой l и прямой m, перпендикулярной к АS и проходящей через его середину. Но, вообще говоря, могут представиться три возможности: прямые l и т пересекаются внутри, или вне треугольника АSК или на его стороне, и нам придется рассмотреть все эти возможности (см. рис. 7, 8, 9). Ниже, в ходе выкладок, мы покажем, что две из них на самом деле не осуществляются. Нас интересует радиус R описанного шара, т.е. расстояние от точки О — точки пересечения перпендикуляров т иlксторонам угла КSА — до точки S, вершины этого угла. Прежде всего отыщем SL— проекцию искомого расстояния на сторону SK треугольника KAS. Так как в треугольнике АКB(рис. 6) нам известен катет ВК=
а и угол КАВ = α, то АК= 
а ctg α. 
Рис. 7
Рис.8
Далее, из треугольника КАSимеем
SK=
.Так как L— центр описанной около треугольника ВSС окружности, то LS=LВ, aпотому из треугольника ВКLнаходим, что (SК-SL)2+КВ2=ВL2, т. е.
SL=
.Отметив, что проведенные вычисления отрезка SLникак не зависели от местоположения центра О описанного шара, вернемся к рис. 7, 8, 9. Обозначим через N точку пересечения прямой m со стороной SК. Ясно, что прямые l и т пересекаются вне треугольника КАS, если SN<SL (рис. 8); если же SN > SL, то точка О лежит внутри этого треугольника (рис. 7); наконец, если SN = SL, то точка О лежит на стороне SК этого треугольника (рис. 9). Выясним, какое из этих положений имеет место на самом деле.