Построение с помощью циркуля и линейки отрезка равного произведению или отношению двух других (стр. 2 из 3)

4.На оси ОХ отложим отрезок А₁С₁=1ед.

5.Строим С₁В₁=m, где С₁В₁┴ОХ.

6.Проведём прямую А1В1, уравнение которой У=mx-m2, в координатных осях ХОУ (масштаб на осях одинаковый).

7.Востанавливаем перпендикуляр к ОХ в точке D.

8.Получаем точку А (m+n; mn) - точку пересечения прямой У=mx-m2 и перпендикуляра AD

9.Отрезок AD=mn, то есть искомый отрезок.

Вывод: Этот второй способ универсальнее первого способа, так как позволяет найти точу А(m+n;mn)и тогда, когда m=n>1ед., тогда координаты этой точки А(2m;m²) и AD=m².

Другими словами этот метод позволяет найти отрезок, равный квадрату данного, длина которого больше 1ед.

Замечание: Действительно, если в нашем примере m=3ед., n=5ед., то должно быть AD=mn=3ед.×5ед.=15ед. У нас так и получилось: AD=15ед.

Третий способ построения отрезка AD=mn, где m>1ед, n>1ед и m≠n.

Анализ.

Используя рисунок №2, проведём штриховой линией прямую В₁В₂ до пересечения с ОХ в точке Е € ОХ, и прямую В₁В ┴ В₂С₂, тогда <ά=<B₁EC₁=45º. Действительно, ∆В₁ВВ₂, ∆ЕС₁В₁ и ∆ЕС₂В₂- прямоугольные, подобные и равнобедренные, т.к.

В₁В=С₁С₂=ОС₂-ОС₁=(n+1ед.)-(m+1ед)=n-m, а В₂В=В₂С₂-В₁С₁=m-n => В₁В=В₂В=>∆В₁ВВ₂- равнобедренный, прямоугольный>∆ЕС₁В₁- равнобедренный, прямоугольный => ά=45º

Т.к. ОС₁=m+1ед., а ЕС₁=В₁С₁=m, то ОЕ=ОС₁-ЕС₁=m+1ед.-m=1ед.

Из рассуждений следует, что точки В₁ и В₂ можно найти по-другому, т.к. они являются точками пересечения прямой ЕВ₁, проведённой под углом ά=45º к оси ОХ и перпендикуляров к ОХ: В₁С₁ и В₂С₂, а ОЕ=1ед.Дальше, используя уже предыдущие методы будем иметь следующий способ построения.

Дано:

1ед.

- единичный отрезок.

mm>1ед.

nn>1ед., и m≠n.

Построение (Рис.4)

1.Проведём прямую ОХ.

2.Отложим ОЕ=1ед., где Е € ОХ.

3.Отлтжим ЕС₁=m, где С₁ € ОХ.

4.Восстановим перпендикуляр в точке С₁ к оси ОХ.

5.Построим

ά= С₁ЕВ₁=45º, где В_{1 -} точка пересечения перпендикуляра С₁В₁ со стороной ά=45º.

6.Отложив ОА₁=m, проводим прямую А₁В₁, уравнение которой У=mx-m², А € ОХ.

7.Отложим ОА₂=n, где А₂ € ОХ.

8.Отложим А₂С₂=1ед., где С₂ € ОХ.

9.Восстановим перпендикуляр С₂В₂ к оси ОХ в точке С₂, где В₂- точка пересечения перпендикуляра с прямой ЕВ₁.

10.Проводим прямую А₂В₂, уравнение которой У=nx-n², до пересечения с прямой А₁В₁ в точке А.

11.Опускаем на ОХ из точки А перпендикуляр и получаем AD_, равный mn, где D € ОХ, так как в координатных плоскостях осях ХОУ координаты точки А(m+n;mn).

Рис.4

Замечание: Недостаток данного способа такой же, как у первого способа построения, где построение возможно только при условии m≠n.

Четвёртый способ построения отрезка AD=mn, где m и n- любые, большие единичного отрезка.

Дано:

1ед.

- единичный отрезок.

mm>1ед.

nn>1ед., m и n- любые.

Построение (Рис.5)

Рис.5

1.Проведём прямую ОХ.

2.Отложим ОЕ=1ед., где Е € ОХ.

3.Отлтжим ЕС₁=m, где С₁ € ОХ.

4.Восстановим перпендикуляр в точке С₁ к оси ОХ.

5.Построим

ά= С₁ЕВ₁=45º, где В_{1 -} точка пересечения перпендикуляра С₁В₁ со стороной ά=45º.

6.Отложив ОА₁=m, проводим прямую А₁В₁, уравнение которой У=mx-m², А € ОХ.

7.Отложим А₁D=n, где D € OX.

8.Восстановим перпендикуляр в точке D до пересечения его в точке А с прямой А₁В₁, уравнение которой У=mx-m².

9.Отрезок перпендикуляра AD=

произведению отрезков m и n, то есть AD=mn, так как А (m+n; mn).

Замечание: Этот способ выгодно отличается от первого и третьего способов, где m≠n, так как имеем дело с любыми отрезками m и n, единичный отрезок может быть меньше только одного из них, участвующего в начале построения (у нас m>1ед.).

Общая проблема ІІ

С помощью циркуля и линейки построить отрезок, равный отношению двух других отрезков.

Примечание:

единичный отрезок меньше отрезка делителя.

Первый способ построения отрезка n=k/m, где m>1ед.

Дано:

1ед.

- единичный отрезок.

mm>1ед.

k

(k=mn)

Построение(Рис.6)

1.Строим координатные оси ХОУ.

2.На ОУ отложим ОМ=k.

3. На ОХ отложим ОА₁=m.

4.На ОХ отложим А₁С₁=1ед.

5.Построим С₁В₁=m, где С₁В₁┴ ОХ.

6. Проведём прямую А₁В₁, уравнение которой y=mx-m² в координатных осях ХОУ (масштаб на осях одинаковый, равный 1ед.).

7.Восстановим перпендикуляр МА в точке М к оси ОУ, где А- точка пересечения МА с прямой А₁В₁ (т.е. А € А₁В₁).

8.Опустим перпендикуляр из точки А на ось ОХ до пересечения его с осью ОХ в точке D. Отрезок AD=ОМ=k=mn.

9.Отрезок А₁D= n- искомый отрезок, равный n=k/m.

Рис.6

Доказательство:

1.Уравнение прямой А₁В₁ действительно У=mx-m², при У=0 имеем 0=mx-m² =>x=m=OA_{1, т}а угловой коэффициент - tg<B₁A₁C₁=B₁C₁/А₁С₁=m/1ед.=m.

2.В ∆АDA₁ tg<AA₁D=AD/A₁D=B₁C₁/A₁C₁=>A₁D=AD×A₁C₁/B₁C₁=k×1ед./m=mn/m=n, т.е. А₁D=n=k/m - искомыйотрезок.

Замечание. Действительно, если в нашем примере m=3ед., k=15ед., то должно быть A₁D=n=k/m=15ед./3ед.=5ед. У нас так и получилось.

Второй способ построения отрезка n=k/m, где m>1ед.

Дано:

1ед.

- единичный отрезок.

mm>1ед.

k

(k=mn)

Рис.7

1.Строим координатные оси ХОУ.

2.На ОУ отложим ОМ=k.

3.Отложим ОЕ=1ед., где Е € ОХ.

4.Отложим ЕС₁=m, где С₁ € ОХ.

5.Восстановим перпендикуляр в точке С₁ к оси ОХ.

6.Строим

С₁ЕВ₁=45º, где В₁ - точка пересечения перпендикуляра С₁В₁ со стороной угла С₁ЕВ₁= 45º.

7. На ОХ отложим ОА₁=m.

8. Проведём прямую А₁В₁, уравнение которой y=mx-m² в координатных осях ХОУ (масштаб на осях одинаковый, равный 1ед.).

9.Восстановим перпендикуляр МА в точке М к оси ОУ, где А - точка пересечения МА с прямой А₁В₁ (т.е. А € А₁В₁).

10.Опустим перпендикуляр из точки А на ось ОХ до пересечения его с осью ОХ в точке D. Отрезок AD=ОМ=k=mn.

11.Отрезок А₁D=n- искомый отрезок, равный n=k/m.

Доказательство:

1.∆В₁С₁Е - прямоугольный и равнобедренный, так как

С₁ЕВ₁=45º =>В₁С₁=ЕС₁=m.

2.А₁С₁=ОС₁- ОА₁=(ОЕ+ЕС1) - ОА₁=1ед+m-m=1ед.

3.Уравнение прямой А₁В₁ действительно У=mx-m², при У=0 имеем 0=mx-m² =>x=m=OA_1, а угловой коэффициент - tg<B₁A₁C₁=B₁C₁/А₁С₁=m/1ед.=m.

4.В ∆АDA₁ tg<AA₁D=AD/A₁D=B₁C₁/A₁C₁=> A₁D=AD×A₁C₁/B₁C₁=k ×1ед./m=mn/m=n, т.е. А₁D=n=k/m - искомыйотрезок.

Заключение

В своей работе мы нашли и исследовали различные методы построения с помощью циркуля и линейки отрезка, равного произведению или отношению двух других отрезков, предварительно дав своё определение этим действиям с отрезками, так как ни в одной специальной литературе мы не смогли найти не только определение умножения и деления отрезков, но даже упоминания об этих действиях над отрезками.