Функциональная зависимость и регрессия (стр. 3 из 10)

Нетрудно видеть, что r совпадает по знаку с

(а значит, и с )

Если r > 0 (

> 0, > 0), то корреляционная связь между переменными называется прямой, если r < 0 ( < 0, < 0) – обратной . При прямой (обратной) связи увеличение одной из переменных ведет к увеличению (уменьшению) условной (групповой) средней другой.

Учитывая равенство (1.16), формулу для r представим в виде:

(1.24)

Отсюда видно, что формула для r симметрична относительно двух переменных, т.е. переменные Х и Yможно менять местами. Тогда аналогично формуле (1.24) можно записать:

(1.25)

Найдя произведение обеих частей равенств(1.24) и (1,25), получим:

(1.26)

или

(1.27)

т.е. коэффициент корреляции r переменных Х и Y есть средняя геометрическая коэффициентов регрессии, имеющая их знак.

Отметим основные свойства коэффициента корреляции (при достаточно большом объеме выборки n), аналогичные свойствам коэффициента корреляции двух случайных величин .

1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [-1; 1], т.е.

(1.28)

В зависимости от того, насколько

приближается к 1, различают связь слабую, умеренную, заметную, достаточно тесную, тесную и весьма тесную, т.е. чем ближе к 1, тем теснее связь.

2. Если все значения переменных увеличить (уменьшить) на одно и то же число или в одно и то же число раз, то величина коэффициента корреляции не изменится.

3. При r = ± 1 корреляционная связь представляет линейную функциональную зависимость. При этом линии регрессии Y по Х и Х по Y совnадают и все наблюдаемые значения располагаются на общей прямой.

4. При r = 0 линейная корреляционная связь отсутствует. При этом групповые средние переменных совпадают с их общими средними, а линии регрессии Y по X и X по Y параллельны осям координат. Равенство r = 0 говорит лишь об отсутствии линейной корреляционной зависимости (некоррелированности переменных), но не вообще отсутствии корреляционной, а тем более статистической зависимости. Выборочный коэффициент корреляции r является оценкой генерального коэффициента корреляции ρ (о котором речь пойдет дальше), тем более точной, чем больше объем выборки п. И указанные выше свойства, строго говоря, справедливы для ρ. Однако при достаточнобольшом nих можно распространить и на r.

1.4 Основные положения корреляционного анализа.

Корреляционный анализ (корреляционная модель)– метод, применяемый тогда, когда данные наблюдений или эксперимента можно считать случайными и выбранными из совокупности, распределенной по многомерному нормальному закону.

Основная задача корреляционного анализа, как отмечено выше, состоит в выявлении связи между случайными переменными путем точечной и интервальной оценок различных (парных, множественных, частных) коэффициентов корреляции. Дополнительная задача корреляционного анализа (являющаяся основной в регрессионном анализе) заключается в оценке уравнений регрессии одной переменной по другой.

Рассмотрим простейшую модель корреляционного анализа – двумерную. Плотность совместного нормального распределения двух переменных Xи Yимеет вид:

(1.28)

ρ- коэффициент корреляции между переменными X и Y, определяемый через кореляционный момент (ковариацию)

по формуле: или

ρ=

(1.30)

Величина ρ характеризует тесноту связи между случайными переменными X и Y. Указанные параметры

ρ дают исчерпывающие сведения о корреляционной зависимости между переменными. ρ является показателем тесноты связи лишь в случае линейной зависимости между двумя переменными, получаемой, в частности при их совместном нормальном распределении.

1.5 Корреляционное отношение и индекс корреляции

Введенный выше коэффициент корреляции, как уже отмечено, является полноценным показателем тесноты связи лишь в случае линейной зависимости между переменными. Однако часто возникает необходимость в достоверном показателе интенсивности связи при любой форме зависимости.

Для получения такого показателя воспользуемся правилом сложения дисперсий:

(1.31)

где

общая дисперсия переменной

(1.32)

средняя групповых дисперсий , или остаточная дисперсия

(1.33)

(1.34)

межгрупповая дисперсия

(1.35).

Остаточной дисперсией измеряют ту часть колеблемости Y, которая возникает из-за изменчивости неучтенных факторов, не зависящих от Х. Межгрупповая дисперсия выражает ту часть вариации Y, которая обусловлена изменчивостью Х. Величина

(1.36)

получила название эмпирического корреляционного отношения Yпо Х. Чем теснее связь, тем большее влияние на вариацию переменной Yоказывает изменчивость Х по сравнению с неучтенными факторами, тем выше

.Величина ,называемая эмпирическим коэффициентом детерминации, показывает, какая часть общей вариации Yобусловлена вариацией Х. Аналогично вводится эмпирическое корреляционное отношение Х по Y:

(1.37).

Отметимосновные свойства корреляционных отношений:

1. Корреляционное отношение есть неотрицательная величина, не превосходящая единицу: 0

.

2. Если η=0, то корреляционная связь отсутствует.

3. Если η=1, то между переменными существует функциональная зависимость.

4.

, т.е. в отличие от коэффициента корреляции r при вычислении корреляционного отношения существенно, какую переменную считать независимой, а какую– зависимой.

Эмпирическое корреляционное отношение

является показателем рассеяния точек корреляционного поля относительно эмпирической линии регрессии, выражаемой ломаной, соединяющей значения Однако в связи с тем, что закономерное изменение нарушается случайными зигзагами ломаной, возникающими вследствие остаточного действия неучтенных факторов, преувеличивает тесноту связи. По- этому наряду с рассматривается показатель тесноты связи , характеризующий рассеяние точек корреляционного поля относительно линии регрессии (1.3). Показатель получил название теоретического корреляционного отношения или индекса корреляции Y по X: