Числовая последовательность понятие и виды (стр. 2 из 4)
Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.
Пример. Доказать, что последовательность (xn)=((2n+1)/n) сходится к числу 2.
Решение.
Имеем |xn-2|=|((2n+1)/n)-2|= 1/n. для любого α>0, m принадлежит N такое, что 1/m<α. Тогда n>m справедливо неравенство 1/m<α и, следовательно, |xn-1|<α; т.е. ℓimn→∞ xn=2.
1.2 Предел последовательности.
Число a называется пределом последовательности x = {xn}, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |xn - a| < ε.
Если число a есть предел последовательности x = {xn}, то говорят, что xnстремится к a, и пишут
.Чтобы сформулировать это определение в геометрических терминах введем следующее понятие.
Окрестностью точки x0 называется произвольный интервал (a, b), содержащий эту точку внутри себя. Часто рассматривается окрестность точки x0, для которой x0 является серединой, тогда x0 называется центром окрестности, а величина (b–a)/2 – радиусом окрестности.
Итак, выясним, что же означает геометрически понятие предела числовой последовательности. Для этого запишем последнее неравенство из определения в виде
Это неравенство означает, что все элементы последовательности с номерами n>N должны лежать в интервале (a – ε; a + ε).
Следовательно, постоянное число a есть предел числовой последовательности {xn}, если для любой малой окрестности с центром в точке a радиуса ε (ε – окрестности точки a) найдется такой элемент последовательности с номером N, что все последующие элементыс номерами n>N будут находиться внутри этой окрестности.
Пример 1.
1. Пусть переменная величина x последовательно принимает значения
Докажем, что предел этой числовой последовательности равен 1. Возьмем произвольное положительное число ε. Нам нужно найти такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |xn - 1| < ε. Действительно, т.к.
,то для выполнения соотношения |xn - a| < ε достаточно, чтобы
или 
.Поэтому, взяв в качестве N любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству
, получим что нужно. Так если взять, например, 
,то, положив N=6, для всех n>6 будем иметь
.2. Используя определение предела числовой последовательности, доказать что
.Возьмем произвольное ε > 0. Рассмотрим
.Тогда
, если 
или 
, т.е. 
.Поэтому выберем любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству
.Замечание 1. Очевидно, что если все элементы числовой последовательности принимают одно и то же постоянное значение xn = c, то предел этой последовательности будет равен самой постоянной. Действительно, при любом ε всегда выполняется неравенство
|xn - c| = |c - c| = 0 < ε.
Замечание 2. Из определения предела следует, что последовательность не может иметь двух пределов. Действительно, предположим, что xn → a и одновременно xn → b. Возьмем любое
и отметим окрестности точек a и b радиуса ε. Тогда по определению предела, все элементы последовательности, начиная с некоторого, должны находиться как в окрестности точки а, так и в окрестности точки b, что невозможно.Замечание 3. Не следует думать, что каждая числовая последовательность имеет предел. Пусть, например, переменная величина принимает значения
.Несложно заметить, что эта последовательность не стремится ни к какому пределу.
Пример 2.
Доказать, что ℓimn→∞qⁿ=0 при |q| < 1.
Доказательство:
1). Если q=0, то равенство очевидно. Пусть α> 0- произвольно и 0<|q|<1. тогда пользуясь неравенством Бернулли, получим
1/|q|= (1+(1/|q|-1))ⁿ > 1+n(1/|q|-1)> n(1/|q|-1)
Отсюда
|q|ⁿ=|q|ⁿ< |q| / (n(1-|q|) <αn>|q| / (n(1-|q|)
1.2.1.Теоремы о пределах последовательностей.
1. Последовательность, имеющая предел, ограничена;
2. Последовательность может иметь только один предел;
3. Любая неубывающая (невозрастающая) и не ограниченная сверху (снизу) последовательность имеет предел;
4. Предел постоянной равен этой постоянной:
ℓimn→∞ C=C
5.Предел суммы равен сумме пределов: ℓimn→∞(an+bn)= ℓimn→∞ an+ ℓimn→∞ bn;
6. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
ℓim n→∞ (Сan)= Cℓim n→∞ an;
7. Предел произведения равен произведению пределов:
ℓimn→∞ (an∙bn)= ℓimn→∞ an ∙ ℓimn→∞ bn;
8. Предел частного равен частному пределов, если предел делителя отличен от нуля:
ℓimn→∞ (an/bn)= ℓimn→∞ an / ℓimn→∞ bn, если
ℓimn→∞bn≠0;
9. Если bn ≤ an ≤ cn и обе последовательности {bn}и {cn} имеют один и тот же предел α, то ℓimn→∞ an=α.
Пример.
Найдем предел ℓimn→∞ ((3n-1)/(4n+5)).
Имеем
ℓimn→∞ ((3n-1)/(4n+5))= ℓimn→∞(n(3-1/n))/ (n(4+5/n)= (ℓimn→∞ 3-1/n)/ (ℓimn→∞ 4+5/n)= (ℓimn→∞ 3- ℓimn→∞ 1/n)/ (ℓimn→∞ 4+ 5 ℓimn→∞ 1/n)= (3-0)/(4+5∙0)=3/4.
1.3 Арифметическая прогрессия.
Арифметическая прогрессия- это последовательность {an}, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называемым разностью прогрессии:
an+1= an+ d, n=1, 2, 3… .
Любой член последовательности может быть вычислен по формуле
an= a1+ (n – 1)d, n≥1
1.3.1. Свойства арифметической прогрессии
1. Если d> 0, то прогрессия является возрастающей; если d< 0- убывающая;
2. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии:
an= (an-1 + an+1)/2, n≥2
3. Сумма n первых членов арифметической прогрессии может быть выражена формулами:
Sn= ((2a1+ d(n-1))/2)∙n
4. Сумма n последовательных членов арифметической прогрессии начиная с члена k:
Sn= ((ak+ak+n-1)/2)∙n
5. Пример суммы арифметической прогрессии является сумма ряда натуральных чисел до n включительно:
Sn=(n(n+1))/2
Пример 1.
Известно, что при любом n сумма Sn членов некоторой арифметической прогрессии выражается формулой Sn=4n²-3n. Найти три первых члена этой прогрессии.
Решение:
Sn=4n²-3n ( по условию).
Пустьn=1, тоS1=4-3=1=a1 => a1=1;
Пустьn=2, тоS2=4∙2²-3∙2=10=a1+a2; a2=10-1=9;
Таккакa2=a1+d, то d= a2-a1=9-1=8;
a3= a2+d=17
Ответ: 1; 9; 17.
Пример 2.
При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена на шестой член в частном получается 2 и в остатке 5. Найти первый член и разность прогрессии.
Решение:
a1, a2, a3…, an- арифметическая прогрессия
a9/a2=S;
a13/a6=2 ( остатокS)
a9= S∙a2;
a13=2a6+S.
Используя формулу для n-ого члена прогрессии получим систему уравнений
{a1+8d= S(a1+d); a1+12d = 2(a1+S∙d)+S
{ 4a1=3d; a1=2d-S
Откуда 4(2d-S)=3d => Sd= 20 => d=4.
Ответ: a1=3; d=4.
1.4.Геометрическая прогрессия.
Геометрическая прогрессия- это последовательность {bn}, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же отличное от нуля число q, называемое знаменателем прогрессии:
bn+1= bnq, n= 1, 2, 3… .
Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:
bn= b1qⁿ‾¹
1.4.1. Свойства геометрической прогрессии.
1. Логарифмы членов геометрической прогрессии образуют арифметическую прогрессию.
2. b²n= bn-i bn+i, i< n
3. Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:
Pn= (b1∙bn)ⁿ َ ²
4. Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, можно рассчитать по формуле:
Pk,n= (Pn)/(Pk-1);
5. Сумма n первых членов геометрической прогрессии:
Sn= b1((1-qⁿ)/(1-q)), q≠ 1
Sn= qbn, q=1;
6. Если |q|< 1, то bn→0 при n→+∞, и Sn→(b1)/(1-q), при n→+∞
Примре1.
Пусть а1, а2, а3, … , аn, … – последовательные члены геометрической прогрессии, Sn – сумма ее первых n членов.
Решение:
Sn= a1+a2+a3+…an-2+an-1+ an= a1an (1/an+a2/a1an+a3/a1an+…+an-2/a1an+an-1/a1an+1/a1)= a1an (1/an+ a2/a2an-1+…+ an-2/an-2a3+an-1/an-1a2+1/a1)=
a1a2 (1/an+ 1/an-1+ 1/an-2+…+ 1/a3+1/a2+ 1/a1).
Ч.т.д.
1.5.Числа Фибоначчи.
В 1202 году появилась книга итальянского математика Леонардо из г. Пиза, в которой содержались сведения по математике, приводились решения всевозможных задач. Среди них была простая, не лишенная практической ценности, задача о кроликах: "Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?"