Дискретная задача оптимального управления (стр. 2 из 6)

x(i + 1) = /(i,x(i),u(i,x)), i = 0,1,. .., N — 1, x(0) = xo

в направлении от 0 к N. В результате определяются приближённые оптимальные траектория и управление — пара (x(i),u(i)), на которой функционал I достигает приближенного абсолютного минимума в рассматриваемой области.

Разработана также модификация данного метода, основанная на аппроксимации заданного набора узловых значений правой части уравнения Беллмана по методу наименьших квадратов. В этой модификации равенства (4) заменяются минимизацией относительно неизвестных коэффициентов интерполяционного полинома (3) суммы квадратов отклонений этого полинома от соответствующих узловых значений. Преимущество такого подхода в том, что отпадаетнеобходимость строгого согласования конструкции полинома и конфигурации узловых точек, требуется лишь избыточность числа узлов относительно числа неизвестных, чтобы задача аппроксимации имела единственное решение.

4. Метод восстановления функции цены

Здесь рассматривается другой метод приближенного синтеза, основанный на восстановлении так называемой функции цены. Под этим понимается зависимость функционала I(i, x), подсчитанного на некотором семействе решений системы (1), от значений i, x, рассматриваемых как начальные для траекторий этого семейства. Если решения оптимальны, то, как известно, функция цены становится функцией Беллмана, иначе — функцией Кротова, удовлетворяющей соотношениям (2), взятой с обратным знаком и порождающей оптимальный синтез управления. Если траектории семейства приближенно-оптимальные, то и полученный с их помощью синтез также будет приближенно-оптимальным. На этом основана предлагаемая процедура приближенно-оптимального синтеза, называемая методом восстановления функции цены, состоящая из следующих шагов:

• в рассматриваемой области фазового пространства при каждом i задается дискретный набор точек, от которых как от начальных строится семейство решений системы (1), принимаемых за исходные приближения в каком-либо известном итерационном алгоритме улучшения (градиентном, второго порядка и т. п.);

• каждое решение улучшается до достижения оптимума, вычисляются значения функции цены в узловых точках;

• задается приближенная функция Кротова-Беллмана посредством аппроксимации по найденному дискретному набору;

• вычисляется приближенно-оптимальный синтез с одновременной верхней оценкой;

• при удовлетворительном значении оценки процедура заканчивается, иначе меняется схема аппроксимации и повторяются шаги 3) и 4) до окончания по оценке или до установления;

• в последнем случае повторяются шаги 1)-5).

• Данный метод специфичен именно для дискретных систем, для которых конструкции Кротова, используемые на шагах 4) и 5), не требуют непрерывности и гладкости от функции р, и поэтому допускают произвольные аппроксимации, в том числе наиболее простые — кусочно-гладкие и даже кусочно-постоянные, что существенно упрощает шаг 5).

• Возможна модификация данного метода, применимая и к непрерывным системам, когда по дискретной схеме лишь задается функция р и подсчитывается оценка.

• Другая модификация эффективна в широком классе задач, для которых среди оптимальных траекторий может быть выделена некоторая опорная, «притягивающая» другие траектории выбранного семейства. Роль таких опорных траекторий могут играть магистрали в вырожденных задачах оптимального управления, исследуемых по методу кратных максимумов Гурмана, и программные оптимали в задачах локально оптимального синтеза в окрестности программной траектории с целью ее реализации управлением с обратной связью при малых возмущениях.

• 5. Некоторые приложения

• Приближённый синтез оптимального управления по дискретным схемам на основе глобальных методов и априорных оценок — это эффективный путь практического решения сложной проблемы оптимального синтеза. Это подтверждают разнообразные приложения к версиям разработанных методов.

• Так, в работах [6-8] описываются приложения рассматриваемых методов к задачам улучшения и локально-оптимального синтеза управлений, реализующих характерные маневры вертолета. Приближенный синтез в окрестности неоптимальной траектории с помощью полиномов первого - второго порядка приводит к улучшению управлений, а после серии итераций -- к локальному оптимуму и приближенному локально-оптимальному синтезу управления.

В работе [9] описывается приложение данного метода к актуальной задаче оптимизации стратегии устойчивого развития на агрегированной эколого-экономической модели -- типичной задаче с магистральным решением. Специфика этой задачи позволяет построить методом восстановления функции цены глобальный приближенный синтез оптимального управления с хорошей априорной оценкой, позволяющей судить о высокой точности решения. Выясняется такжевозможность приложений к аналогичным задачам любой размерности, что невозможно в рамках классической схемы Беллмана из-за «проклятия размерности».

Методы синтеза и определения состояния обьекта

При диагностировании объектов обычно рассматриваются и учитываются только два характерных состояния:

• объект функционирует;

• объект не функционирует.

Однако с учетом комплектующих объекта (блоков, агрегатов, деталей) фактическое число состояний может быть существенно больше, например:

• первый блок объекта функционирует;

• второй блок объекта не функционирует;

• третий блок объекта функционирует и т.д.

В этой связи задача определения числа состояний объекта по существу сводится к задаче определения числа таких блоков или агрегатов, отказ которых приводит к отказу всего объекта в целом.

В общем случае, когда объект состоит из N комплектующих, возможное число состояний может быть определено по формуле

S = 2ⁿ.

Число состояний, когда объект не функционирует (объект отказал), равно

S₀ = S - 1.

Например, пусть рассматриваемый объект состоит из двух последовательно соединенных комплектующих (агрегатов).

1	2

Рис. 10. Схема объекта из двух агрегатов

Тогда можно выделить четыре возможные состояния объекта:

• отказал первый агрегат;

• отказал второй агрегат;

• отказали первый и второй агрегаты;

• объект функционирует (не отказали ни первый, ни второй агрегаты).

Из общего числа состояний S число неработоспособных состояний S_N может быть определено по формуле

S_N = 2^N - 1.

Очевидно, что при последовательном соединении элементов в рассматриваемом примере состояния 1,2,3 свидетельствуют о неработоспособности всей системы. Число состояний, соответствующих отказу всего объекта, 4 - 1= 3.

При контроле реальных технических систем, состоящих из большого числа элементов, даже при учете для каждого элемента только двух состояний общее количество возможных состояний оказывается чрезвычайно большим. Например, у объекта, состоящего из 200 деталей, общее число возможных состояний S = 2²⁰⁰, а число состояний неправильного функционирования S_N = 2²⁰⁰-1

Для уменьшения числа учитываемых состояний объекта принимают следующие допущения:

• Вероятность одновременного возникновения в системе отказов двух и более элементов пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью отказа только одного элемента. Фактически это означает, что число неработоспособных состояний системы может быть определена по формуле

Sn = N,

где N - количество элементов в системе (в объекте контроля).

• Можно исключить из рассмотрения отказы тех элементов, вероятность отказа которых мала, или их отказы не имеют опасных последствий. В этой связи число возможных состояний, практически приводящих к отказу всего объекта, равна

Sn < N.

Перечисленные допущения позволяют существенно (на несколько порядков) снизить размерность числа рассматриваемых состояний у контролируемых объектов.

Последовательность выбора контролируемых состояний и их признаков рассмотрим на примере упрощенной схемы системы, которая представлена на рис.11.

Cледует, что рассматриваемая система состоит из девяти элементов. При этом общее количество ее возможных неработоспособных состояний Sn =2⁹-1 = 511.

4.2. Определение контролируемых параметров

Если допустить, что одновременно может отказать только один блок, то число неработоспособных состояний составит S_N=N=9. Отбросив маловероятные отказы (блоки 6, 7, 8, 9), получим, что наиболее вероятное количество неработоспособных состояний системы S_N равно всего лишь 5. Такими состояниями являются:

• - отказ блока №1;

• - отказ блока №2;

• - отказ блока №3;

• - отказ блока №4;

• - отказ блока №5.

В качестве признаков перечисленных состояний будем использовать отклонение от установленной нормы значений тех или иных параметров. В рассматриваемом примере такими признаками могут быть: 1 - повышение уровня шума, 2 - повышение давления, 3 - повышение температуры, 4 - величина напряжения, 5 - величина силы тока, 6 - величина сопротивления обмоток, 7 - величина сопротивления контакта, 8 - величина сопротивления изоляции.

В общем случае между состояниями Sj и их признаками Xj могут встречаться виды взаимосвязи, представленные на рис.12.

- между признаком X и состоянием Si имеется взаимосвязь

(иначе - признак X_i реагирует на состояние S)

- несколько признаков Xj...Х+„ реагируют на одно

состояние S;