Финансовая математика 3 (стр. 4 из 10)
Вполне естественно, что в зависимости от использования конкретной практики начисления простых процентов их сумма будет различаться по абсолютной величине.
Для упрощения процедуры расчета точного числа дней финансовой операции пользуются специальными таблицами порядковых номеров дней года (Приложение 1), в которых все дни в году последовательно пронумерованы. Точное количество дней получается путем вычитания номера первого дня финансовой операции из номера последнего дня финансовой операции.
Пример 3. Сумма 2 млн руб. положена в банк 18 февраля не високосного года и востребована 25 декабря того же года. Ставка банка составляет 35% годовых. Определить сумму начисленных процентов при различной практике их начисления.
Решение:
1. Германская практика начисления простых процентов:
Временная база принимается за 360 дней, T = 360.
t = 11 (февраль) + 30 (март) + 30 (апрель) + 30 (май) + 30 (июнь) +
+ 30 (июль) + 30 (август) + 30 (сентябрь) + 30 (октябрь) +
+ 30 (ноябрь) + 25 (декабрь) - 1 = 305 дней
Сумма начисленных процентов:
I = P • t / T • i = 2'000'000 • 305/360 • 0,35 = 593'055,55 руб.
2. Французская практика начисления процентов:
Временная база принимается за 360 дней, T = 360.
Количество дней ссуды:
t = 11 (февраль) + 31 (март) + 30 (апрель) + 31 (май) + 30 (июнь) +
+ 31 (июль) + 31 (август) + 30 (сентябрь) + 31 (октябрь) +
+ 30 (ноябрь) + 25 (декабрь) - 1 = 310 дней
По таблицам порядковых номеров дней в году (Приложение 1) можно определить точное число дней финансовой операции следующим образом:
t = 359 - 49 = 310 дней.
Сумма начисленных процентов:
I = P • t / T • i = 2'000'000 • 310/360 • 0,35 = 602'777,78 руб.
3. Английская практика начисления процентов:
Временная база принимается за 365 дней, T = 365.
Количество дней ссуды берется точным, t = 310 дней.
Сумма начисленных процентов:
I = P • t / T • i = 2'000'000 • 310/365 • 0,35 = 594'520,55 руб.
Как видно, результат финансовой операции во многом зависит от выбора способа начисления простых процентов. Поскольку точное число дней в большинстве случаев больше приближенного числа дней, то и проценты с точным числом дней ссуды обычно получаются выше процентов с приближенным числом дней ссуды.
В практическом смысле эффект от выбора того или иного способа зависит от значительности сумм, фигурирующих в финансовой операции.
2.1.2. Расчет процентов с использованием процентных чисел
В банковской практике размещенный на длительное время капитал может в течение этого периода времени изменяться, т.е. увеличиваться или уменьшаться путем дополнительных взносов или отчислений. Таким образом, при обслуживании счетов банки сталкиваются с непрерывной сетью поступлений и расходованием средств и начислени-ем процентов на постоянно меняющуюся сумму. В этой ситуации в банковской практике используется правило: общая начисленная за весь срок сумма процентов равна сумме процентов, начисленных на каждую из постоянных на некотором отрезке времени сумм.
Это касается и дебетовой, и кредитовой части счета. Разница лишь в том, что кредитовые проценты вычитаются.
В таких случаях для расчета процентов используется методика расчета с вычислением процентных чисел: каждый раз, когда сумма на счете изменяется, производится расчет "процентного числа" за период, в течение которого сумма на счете была неизменной. Процентное число вычисляется по формуле:
Процентное число =
= (Сумма на счете • Длительность периода в днях) / 100 =
= (PV • t) / 100
Для определения суммы процентов за весь срок их начисления все "процентные числа" складываются, и их сумма делится на постоянный делитель, который носит название "процентный ключ" или дивизор, определяемый отношением количества дней в году к годовой процентной ставке:
I = ΣПроцентных чисел : Постоянный делитель,
где
Постоянный делитель =
Продолжительность года в днях / Годовая ставка процентов = T / i4>>>
Проценты, вычисляемые с использованием дивизора, рассчитанного исходя из 365 дней в году, будут меньше, чем проценты по дивизору, где количество дней в году принято за 360, поэтому при обслуживании конкретного клиента всегда используется один из дивизоров.
Методика с использованием процентных чисел по своей сути является последовательным применением формулы простых процентов для каждого интервала постоянства суммы на счете:
I = I1 + I2 + I3 = P1 • t1 / T • i + P2 • t2 / T • i + P3 • t3 / T • i
Пример 4. При открытии сберегательного счета по ставке 28% годовых, 20 мая 1999 года была положена сумма в размере 1'000 рублей, а 5 июля на счет добавлена сумма в 500 руб., 10 сентября снята со счета сумма в 750 руб., а 20 ноября счет был закрыт. Используя процентные числа определить сумму начисленных процентов при условии, что банк использует "германскую практику".
Решение:
Срок хранения суммы в 1'000 руб. составил 46 дней, тогда
Процентное число 1 = (1'000 • 46) / 100 = 460;
срок хранения суммы в размере 1'500 руб. составил 66 дней, откуда
Процентное число 2 = (1'500 • 66) / 100 = 990;
срок хранения уменьшенной до 750 руб. суммы составил 70 дней:
Процентное число 3 = (750 • 70) / 100 = 525
Дивизор = 360 / 28 = 12,857
Следовательно, сумма начисленных процентов за период действия сберегательного счета составит:
I = (460 + 990 + 525) / 12,857 = 153,61 руб.
Можно проверить правильность произведенных нами расчетов, исходя из сути процентов:
I = 1'000 • 46 / 360 • 0,28 + 1'500 • 66 / 360 • 0,28 + 750 • 70 / 360 • 0,28 = 153,61 руб.
Как видим, результат вычислений тот же самый.
2.1.3. Переменные ставки
Ставка процентов не является застывшей на вечные времена величиной, поэтому в финансовых операциях, в силу тех или иных причин, предусматриваются дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки. Например, наличие инфляции вынуждает собственника денег периодически варьировать процентной ставкой. В таких случаях наращенную сумму определяют, используя следующую формулу:
FV = PV • (1 + n1 • i1 + n2 • i2 + … + nk • ik),
где k – количество периодов начисления;
nk – продолжительность k-го периода;
ik – ставка процентов в k-ом периоде.
Пример 5. Вклад в сумме 5'000 руб. был положен в банк 25 мая не високосного года по ставке 35% годовых, а с 1 июля банк снизил ставку по вкладам до 30% годовых и 15 июля вклад был востребован. Определить сумму начисленных процентов при английской практике их начисления.
Решение:
Количество дней для начисления процентов по первоначально действующей процентной ставке в размере 35% годовых рассчитывается точно и составляет 37 дней, а по измененной ставке 30% годовых – 14 дней.
Отсюда величина процентов будет равна:
I = 5'000 • (37 / 365 • 0,35 + 14 / 365 • 0,30) = 234,93 руб.
Таким образом, при закрытии счета клиент должен получить процентов в сумме 234,93 руб.
2.1.4. Определение срока ссуды и величины процентной ставки
В любой простейшей финансовой операции всегда присутствуют четыре величины: современная величина (PV), наращенная или будущая величина (FV), процентная ставка (i) и время (n).
Иногда при разработке условий финансовой сделки или ее анализе возникает необходимость решения задач, связанных с определением отсутствующих параметров, таких как срок финансовой операции или уровень процентной ставки.
Как правило, в финансовых контрактах обязательно фиксируются сроки, даты, периоды начисления процентов, поскольку фактор времени в финансово-коммерческих расчетах играет важную роль. Однако бывают ситуации, когда срок финансовой операции прямо в условиях финансовой сделки не оговорен, или когда данный параметр определяется при разработке условий финансовой операции.
Обычно срок финансовой операции определяют в тех случаях, когда известна процентная ставка и величина процентов.
Если срок определяется в годах, то
n = (FV - PV) : (PV • i),
а если срок сделки необходимо определить в днях, то появляется временная база в качестве сомножителя:
t = [(FV - PV) : (PV • i)] • T.
Пример 6. На сколько дней можно дать в долг 1'000 долларов, исходя из 8% годовых, если возвращенная сумма будет составлять 1'075 долларов?
Решение:
Исходя из формулы срока долга для простых процентов, следует:
для обычных процентов
t = [(FV - PV) : (PV • i)] • T =
= [(1'075 - 1'000) : (1'000 • 0,08) • 360 = 338 дней;
для точных процентов
t = [(FV - PV) : (PV • i)] • T =
= [(1'075 - 1'000)/(1'000 • 0,08) • 365 = 342 дня.
Таким образом, сумма в 1'000 долларов может быть предоставлена на срок в 342 дня, если в условиях финансовой операции будет использован термин "точные проценты", а по умолчанию или использованию термина "обыкновенные проценты", срок ссуды сокращается до 338 дней.
Необходимость определения уровня процентной ставки возникает в тех случаях, когда она в явном виде в условиях финансовой операции не участвует, но степень доходности операции по заданным параметрам можно определить, воспользовавшись следующими формулами:
i = (FV - PV) : (PV • n) = [(FV - PV) : (PV • t)] • T.
Пример 7. В контракте предусматривается погашение обязательств через 120 дней в сумме 1'200 долларов, при первоначальной сумме долга 1'150 долларов. Определить доходность операции для кредитора в виде процентной ставки.
Решение:
Рассчитываем годовую процентную ставку, используя формулу "обыкновенного процента", поскольку в условиях сделки нет ссылки на "точный процент":
i = [(FV - PV) : (PV • t)] • T =
= [(1'200 - 1'150) : (1'150 • 120)] • 360 = 0,13
Таким образом, доходность финансовой операции составит 13% годовых, что соответствует весьма высокодоходной финансовой операции, т.к. обычно доходность подобных операций колеблется от 2% до 8%.