Поскольку геометрическая прогрессия убывает быстрее, чем

, то

для достаточно больших

. Поэтому для таких

справедлива оценка

.
Так как

, то при условиях

, (4.4), (4.5), (4.10) и (4.12) имеет место следующая оценка погрешности итерационного метода (4.2)

. (4.13)
Нетрудно видеть, что условие (4.12) сильнее условия (4.4). Для нахождения оптимальной по

оценки погрешности производную по

от правой части выражения (4.13) приравняем к нулю. Тогда оптимальная по

оценка погрешности имеет вид

(4.14)
и получается при

. (4.15)
Итак, доказана
Теорема: При условиях

,

,

, (4.10), (4.5), (4.12) оценка погрешности метода (4.2) имеет вид (4.13) при достаточно больших

. При этих же условиях оптимальная оценка имеет вид(4.14) и получается при

из (4.15).
Таким образом, оптимальная оценка метода (4.2) при неточности в правой части уравнения оказывается такой же, как и оценка для метода простых итераций. Как видно, метод (4.2) не дает преимущества в мажорантных оценках по сравнению с методом простых итераций. Но он дает выигрыш в следующем. В методе простых итераций с постоянным шагом (2) требуется условие

, в этом же методе с переменным шагом допускается более широкий диапазон

для больших

. В методе (4.2)

. Следовательно, выбирая

и

соответствующим образом, можно считать

в методе (4.2) примерно втрое меньшим, чем для метода простых итераций с постоянным шагом, и вдвое меньшим, чем для того метода с переменным шагом. Таким образом, используя метод (4.2), для достижения оптимальной точности достаточно сделать итераций соответственно в три раза или два раза меньше. Приведем несколько подходящих значений

, удовлетворяющих требуемым условиям:
Наибольшую сумму

и, следовательно, наибольший выигрыш в объеме вычислений дают значения

и

. Поскольку в выделенном случае

, то условие (4.6) показывает, что достигнут практически максимальный возможный выигрыш.
Замечание: Оценки сходимости были получены для случая, когда

. В случае, когда

, во всех оценках

следует заменить на

.
Замечание: Считаем, что

. На самом деле все результаты легко переносятся на случай, когда

.
Литература
1. В.Ф. Савчук, О.В. Матысик «Регуляризация операторных уравнений в гильбертовом пространстве», Брест, 2008, 195 стр.