Шпора по математике 4 семестр (стр. 2 из 2)
Док-во: F(x)=P(X<x)=P(-∞<X<x)=
Основные свойства плотности распределения:
1) f(x) определена на (-∞;+∞)
доказательство следует из того, что f(x)=F`(x) , а ф-ия распределения F(x) неубывающая,=>её производная F`(x)>0
2) Условия нормировки:
(3) доказательство следует из формулы (2)БИЛЕТ№5Уравнение колебание струны.
Струной наз. тонкая нить которая может свободно изгибаться. Пусть струна находиться под действием начального натяжения Т0. Если вывести струну из положения равновесия и подвергнуть действию какой небуть силы, то струна начнет колебаться.
Рассматриваем малые поперечные и плоские колебания при которых отклонения точек струны от положения покоя малой в любой момент времени все точки струны находятся в одной плоскости и каждая точка струны колеблется оставаясь на одном и том же перпендикуляре прямой соответствующей состоянию покоя.Эту прямую принимаем за ось Ох. u=u(x,t)-это отклонение точек струны от положения равновесия в момент времени t. В каждый момент времени t, график ф-ии u=u(x,t)дает форму струны.
∂²u/∂t²=a²(∂²u/∂x²)+f, a²= Т0/ρ,где ρ- линейная плотность струны. f=F/ ρ, где F- сила дествующая на струну┴оси обсцис и рассчитанная на единицу длины. Если внешняя сила отсутствует f=0, то ур-ие наз. ур-ие свободных колебаний струны. В начальный момент времени задаются форма и скорость струны т.е положение её точек и их скорость в виде ф-ий обсцис х, этих точек. u│t=0=φ(x)-1 условие; ∂u/∂t│t=0 =ψ(x)-2 условие;-Этиусловия наз. начальными условиями задачи.
БИЛЕТ№7.Решение ур-ия колебания струны методом Даламбера.
u/∂t²=a²(∂²u/∂x²)-ур-ие свободных колебаний струны.
u│t=0=φ(x); ∂u/∂t│t=0=ψ(x);
u(x,t)= (φ(x-at)+ φ(x+at)/2)+
+1/2a∫x-ax+atψ(z)dz
БИЛЕТ№13 Условная вероятность. Теорема произведения вероятностей зависимых событ.
Условн. вер-тью наз вер-ть события В при условии, что соб А уже наступило. Условн вер-ть обознач Р(В/А).
Теорема произвед двух соб=произвед вероятностей одного из них на условную вер-ть другого события. Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А) Предположение что 1 событ произошло Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А) Р(АВ)=Р(В)*Р(А/В)
Теор. Умен. Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А)
Д-во:n- всех исходов, А-m исх, АВ-k исх
m-A
{{****}******}
k-AB
P(AB)=k/n-вер-тьсобыт Р(В/A)=k/mP(AB)=k/n*m/nP(A)=m/nP(AB)=k/m*m/n=P(A)*P(B/A)
Теор. P(A1,A2,...An)=P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)...P(An(A1...An-1)
событиями
1) сумма двух событий А и В – это А+В(U), это значит происходит хотя бы одно событие. Суммой n событий
называется событие 
, которое обозначает, что происходит хотя бы одно из этих событий.2) произведением событий А и В называется событие АВ и заключается в том, что события являются одновременными и являются совместными.
- все события появляются одновременно.БИЛЕТ№20Закон больших чисел в формуле Бернулли.
Рассматр. серия послед.независ.испытаний Бернулли,в каждом из которых событие А (успех) происходит с вероят-тью р. Пусть произведено nнезависимых испытаний,событие А в котором произошло mраз, тогда m-частота, число появления успеха
m/n относит.частота
при неограниченном увеличении числа независимых опытов nотносит.частота сходится по вероят-ти р появлен.события А.
Р([m/n]<E)>=1-pq/nE2
Lim(P[m/n]<E)>=1
Частота m появления события А в n испытаниях Бернулли есть СВ, распредел. по биномиальному закону.
Ее числовые характеристики: X=m
M(x)=M(m)=np, D(x)=D(x)=npq
m/n=СВ распределена по биномиальному закону, числи m=const, значит
D(m/n)=1/n2 D(m)=npq/n2 =pq/n
M(m/n)=1/n M(m)=np/n=p
РассмотримP([m/n-p]<E)>=1-D(x)/E2 =1-pq/nE2
LimP([m/n-p]<E)=1
БИЛЕТ№21 Генеральная совокупность. Выборка.
Стат. сов-тью наз. любую сов-ть объектов, объединенных по какому-то признаку. Различают генер. И выборочную сов-ть.
Выборкой назыв. любая сов-ть случайно отобранных объектов.
Генер.сов-тью назыв. сов-ть из которой произведена выборка.
Объемом сов-ти назыв. число объектов этой сов-ти.
Выборка назыв.повторной если объект перед отбором следующего объекта возвращается в генер. сов-ть. Если не возвращается – выборка назыв. бесповторной.
БИЛЕТ№23 Оценка генеральных характеристик по выборке.
Рассмотрим повторную выборку
значений генеральной совокупности X. При этом случайные величины 
будут независимыми. Пусть MX= α, DX = δ2 генеральные средняя и дисперсия совокупности. В качестве оценок для α и δ рассмотрим среднюю арифметическую выборки 
и выборочную дисперсию 
.Выясним свойства этих оценок:
. Значит, 
является несмещённой оценкой для α. Т.к. по закону больших чисел 
при 
, то оценка является состоятельной. Можно доказать, что оценка является также эффективной, причём 
. Математическое ожидание выборочной дисперсии равно 
. Таким образом, оценка 
является смещённой. На практике, чтобы избавиться от этого недостатка, для оценки неизвестной дисперсии генеральной совокупности пользуются исправленной несмещенной оценкой 
. Тем не менее, из закона больших чисел следует, что как оценка , так и 
являются состоятельными оценками для 
.Дисперсия 
, где N -- объем генеральной совокупности. Дисперсия 
в случае повторной выборки равна 
, а в случае бесповторной выборки 
, где 
.БИЛЕТ№18 Непрерывные случайные величины и их характеристики. Функции распределения. Свойства функции распределения. График функции распределения.
Функцией распределения F(x) случайной величины Х называется вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее х: F (x) = p (X < x).
Свойства функции распределения.
1) 0 ≤ F(x) ≤ 1. Действительно, так как функция распределения представляет собой вероятность, она может принимать только те значения, которые принимает вероятность.
2) Функция распределения является неубывающей функцией, то есть F(x2) ≥ F(x1) при х2 > x1. Это следует из того, что F(x2) = p(X < x2) = p(X < x1) + p(x1 ≤ X < x2) ≥ F(x1).
3)
В частности, если все возможные значения Х лежат на интервале [a, b], то F(x) = 0 при х ≤ а и F(x) = 1 при х ≥ b. Действительно, X < a– событие невозможное, а X < b – достоверное.4) Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [a, b], равна разности значений функции распределения на концах интервала:
p ( a < X < b) = F(b) – F(a).
Справедливость этого утверждения следует из определения функции распределения (см. свойство 2).
Для дискретной случайной величины значение F(x) в каждой точке представляет собой сумму вероятностей тех ее возможных значений, которые меньше аргумента функции.