Системы с одним и двумя воздействиями (стр. 3 из 3)

уравнение сравнивающего звена

;

уравнения регулятора

;

уравнения объекта

;

и выражения соответствующих передаточных функций, с использованием которых можно наиболее наглядным образом представить взаимосвязь между входом и выходом в каждом звене:

передаточную функцию регулятора

;

передаточную функцию объекта по управлению

и по возмущению

Проще всего дать определение этих передаточных функций в виде отношения полиномов, коэффициенты которых определяются соответствующими коэффициентами дифференциальных уравнений, как это только что проделано. Однако полезней всего определить их как отношение изображений по Лапласу соответствующих координат не только при нулевых начальных условиях, но и при равенстве нулю всех остальных координат, которые в рассматриваемой ситуации не рассматривается как входная координата.

Например, передаточной функцией объекта по управлению является отношение изображений выходной координаты объекта к изображению входной координаты объекта при нулевых начальных условиях на упомянутые координаты и равенстве нулю возмущающего воздействия f(t).

Исключая переменные

из системы уравнений связывающей значения всех переменных (в изображениях), получим уравнение связи

Определим теперь выражение изображения выходной координаты замкнутой системы через изображения входных координат (управляющего и возмущающего воздействий)

Отсюда видно, что передаточная функция замкнутой системы по управлению имеет в точности такой же вид, как если бы возмущение, вообще, отсутствовало

а передаточная функция замкнутой системы по возмущению имеет вид:

Ее можно определить точно так же, как и ранее упомянутую, если предположить отсутствие управляющего воздействия.

Вообще, в классической теории управления все координаты равноправны. Хотя считается, что в данной теории рассматриваются системы с одной входной и одной выходной координатой, имеется некоторый выбор среди небольшого числа координат, какую из них считать входной, а какую – выходной. По умолчанию предполагается, что входной координатой является управляющее воздействие, а выходной – регулируемая или управляемая координата. Всякое отклонение от этого варианта уточняется. Например, говоря о передаточной функции по ошибке, подразумевается, что входной координатой считается управляющее воздействие, а выходной – координата ошибки. Аналогично, говоря о передаточной функции по возмущению, имеют в виду, что входной координатой является возмущение, а выходной – управляемая координата.

5 Статические и астатические системы

Свойство астатизма является одним из важнейших свойств систем управления. По передаточной функции системы очень просто судить о наличии у нее этого свойства. И все же это свойство системы, а не передаточной функции. Поэтому и начнем рассуждения с качественной стороны дела.

Свойство астатизма может быть по отношению к управляющему или возмущающему воздействию. По умолчанию подразумевается первый случай.

Система называется астатической, если при стремлении управляющего воздействия к постоянной величине, отличной от нуля, сигнал ошибки стремится к нулю.

Уточнение того, что постоянная величина, к которой стремится управляющее воздействие, отлична от нуля, потребовалось только потому, что в противном случае сигнал ошибки стремится к нулю вне зависимости от того, астатическая система или нет.

Об астатизме системы легко судить по ее передаточной функции. Выясним условия, которым должна удовлетворять передаточная функция астатической системы.

По теореме о начальных и конечных значениях условие равенства нулю предельного значения сигнала ошибки имеет вид:

Условие же неравенства нулю предельного значения входного процесса имеет вид:

Последнее неравенство возможно в случае, когда изображение Y(s) можно представить в виде

таком что

Подставим такое значение изображения по Лапласу входного воздействия в выражение предельного значения сигнала ошибки:

Так как второй сомножитель здесь не равен нулю, то условием равенства произведения в правой части последнего выражения является равенство нулю первого сомножителя.

Говорят, что функция

имеет нуль n-го порядка (

) в начале координат, если она может быть представлена в виде

Таким образом, система астатическая тогда и только тогда, когда ее передаточная функция по ошибке имеет нуль какого-либо порядка в начале координат.

Суждение об астатизме замкнутой системы ведется обычно по виду передаточной функции разомкнутой системы. Под передаточной функцией разомкнутой системы понимается передаточная функция той последовательности операторов, которая начинается с выхода сравнивающего звена и кончается одним из входов в это звено.

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке

достаточно просто выражается через передаточную функцию разомкнутой системы

Не трудно доказать, что передаточная функция по ошибке имеет нуль n–го порядка в начале координат, когда передаточная функция разомкнутой системы имеет полюс того же порядка в начале координат.

Действительно, пусть это условие выполнено, т.е. возможно представление передаточной функции разомкнутой системы в виде

, (

Тогда

Строго говоря, если передаточная функция по ошибке имеет нуль n–го порядка в начале координат, то можно говорить об астатизме того же порядка системы управления. Астатизм выше первого порядка редко встречается и его трудно организовать, поэтому, говоря об астатизме, имеют в виду, как правило, именно астатизм первого порядка.

Все ранее сказанное об астатизме имело отношение к астатизму по управляющему воздействию. Если в качестве входного воздействия рассматривать возмущающее воздействие, то приведенные выше определения будут относиться к астатизму по возмущения, а не по управлению.

Пример. Простейшим примером воздействия, стремящегося к постоянному, не равному нулю значению, является, так называемое единичное ступенчатое воздействие. В дальнейшем оно будет рассмотрено достаточно подробно, а пока только скажем, что оно равно единице при положительных значениях моментов времени и нулю при отрицательных. Преобразование Лапласа такой функции равно 1/s.

На рисунке 5 показана кривой 1 показана реакция астатической системы, а кривой 2 – реакция статической системы на единичное ступенчатое воздействие. Самым существенным здесь является то, что в первом случае величина установившейся ошибки e равна нулю, а во втором – некоторой постоянной величине.

Рисунок 5 – Статические и астатические системы

Различие между статическими и астатическими системами принципиально с теоретической точки зрения, хотя с практической это не совсем так. Действительно, если значение передаточной функций по ошибке в начале координат пренебрежимо мало, то следует ожидать столь же малым значение установившейся ошибки.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы. - СПб.: Питер, 2005.

2. Филлипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.

3. Методы классической и современной теории автоматического управления в 3-х т. Т.1: Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления / Под ред. Н.Д. Егупова. – Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.

4. Медведев В.С., Потемкин В.Г. ControlSystemToolbox. MATLAB 5 для студентов/ Под общ. ред. В.Г. Потемкина. - М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999.