Системы с одним и двумя воздействиями (стр. 2 из 3)
Если объединить полиномы, зависящие от начальных условий, в один полином, то станет очевидным, что выходной процесс состоит из двух слагаемых, одно из которых определяется только входным процессом (при нулевых начальных условиях), а второе – только начальными условиями и не зависит от входного процесса.
.Итак, для определения частного решения дифференциального уравнения операторным методом наличие ненулевых начальных условий не является препятствием. Следует также иметь в виду, что можно разделить эффекты внешнего воздействия и эффекты от ненулевых начальных условий.
Интересно отметить, что операторным методом можно определить не только вынужденные колебания, но и собственные. Для этого достаточно положить в последнем выражении изображение входного воздействия
равным нулю.Изображение входного процесса так же имеет вид отношения двух полиномов от переменной s. При фактическом вычислении выходного процесса операторным методом, определение оригинала выходного процесса по его изображению осуществляется посредством разложения изображения на простейшие дроби. И в этом отношении вычисление вынужденных колебаний мало чем отличается от вычисления собственных колебаний.
Вычислительная сторона дела не является предметом пристального внимания в настоящей работе. Заметим только для знакомых с теорией функций комплексного переменного, что при разложении на элементарные множители отдают предпочтение использованию вычетов, а не методу неопределенных коэффициентов, как это обычно преподносится при первом знакомстве с предметом.
3 Передаточные функции основных видов соединений звеньев
Системы, как правило, состоят из подсистем или звеньев по терминологии теории автоматического управления. Зная передаточные функции звеньев не трудно вычислить передаточную функцию системы. Для этого пользуются выражениями передаточных функций основных видов соединений звеньев. Большая часть из них очевидна, тем не менее, рассмотрим все три основных вида соединений.
Последовательное соединение. Структурная схема последовательного соединения двух звеньев приведена на рисунке 1, где приведены изображения координат, являющихся функциями времени.
Рисунок 1 – Последовательное соединение звеньев
Не трудно выразить преобразование Лапласа выходной координаты через преобразование Лапласа входной координаты и выражения передаточных функций отдельных звеньев
.Отсюда следует, что передаточная функция последовательного соединения звеньев равна произведению передаточных функций этих звеньев.
.Параллельное соединение. Структурная схема данного соединения приведена на рисунке 2.
Рисунок 2 – Параллельное соединение
Выразим преобразование Лапласа выходной координаты через преобразование Лапласа входной координаты и выражения передаточных функций отдельных звеньев параллельного соединения, под которым понимается суммирование выходных координат этих звеньев:
.Отсюда следует, что передаточная функция параллельного соединения звеньев равна алгебраической сумме передаточных функций этих звеньев.
.Соединение по схеме обратной связи. Как и сам принцип обратной связи, эта схема соединения является важнейшей для теории автоматического управления. Она показана на рисунке 3.3.
Рисунок 3 – Соединение по схеме обратной связи
Выразим преобразование Лапласа выходной координаты через преобразование Лапласа входной координаты и выражения передаточных функций отдельных звеньев рассматриваемого соединения. Сначала составим уравнение связи между изображениями различных координат:
,а затем и изображения выходной координаты через изображение входной:
.Таким образом, выражение передаточной функции замкнутой системы
выражается через передаточную функцию прямой цепи 
и обратной связи 
дробью вида 
.Здесь рассматривался только случай отрицательной обратной связи. Случай положительной обратной связи в теории автоматического управления практически не используется. Поэтому он и остался вне поля зрения, хотя повторить все выкладки в случае, когда сигнал обратной связи не вычитается из входного сигнала, а складывается с ним, не представляет труда.
В связи с широким использованием этого типа соединения последняя формула читается многими способами, самый распространенный из которых: «передаточная функция замкнутой системы равна передаточной функции прямой цепи, деленной на единицу плюс передаточная функция разомкнутой цепи».
Полезность такой словесной формулировки проявляется в тех случаях, когда структурная схема замкнутой системы несколько отличается от только что рассмотренной. В этом случае можно и не повторять вывод формулы замыкания, а только уточнить, что понимать в данном конкретном случае под передаточной функцией прямой цепи и передаточной функцией разомкнутой цепи.
В качестве примера рассмотрим определение передаточной функции (замкнутой системы) по ошибке
. Под передаточной функцией по ошибке понимается отношение изображения сигнала рассогласования (ошибки) к изображению входного сигнала (при нулевых, конечно, условиях). Если повторить вывод формулы замыкания для определения коэффициента пропорциональности между изображением сигнала ошибки 
и входного сигнала , то получим, что 
.Это же самое можно было бы получить, используя словесное описание формулы замыкания, если считать выходной координатой сигнал ошибки. Действительно, в прямой цепи в этом случае нет никакого преобразования или, что то же самое, единичное преобразование, а передаточная функция разомкнутой цепи та же самая, что и в рассмотренном ранее случае.
В другом часто встречающемся частном случае единичной обратной связи передаточные функции замкнутой системы и по ошибке имеют вид:
, 
.4 Передаточные функции по управлению и по возмущению
До сих пор рассматривались системы с одним входом и одним выходом, т.е. простейший вид одномерных систем. Даже в рамках одномерных систем входных процессов может быть несколько. В классической теории управления нередко рассматриваются системы с двумя входными воздействиями: управляющим и возмущающим, полезным сигналом и помехой.
Аппарат передаточных функций и в этом случае оказывается полезным. Для примера рассмотрим случай системы с обратной связью, в которой наряду с управляющим воздействием имеется возмущающее.
Приведем ее структурную схему и соответствующую систему дифференциальных уравнений. В теории автоматического управления, как правило, отдается предпочтение первой из этих двух эквивалентных форм описания систем. Точнее, основную часть информации о замкнутой системе приводят в виде структурной схемы, а недостающую – в виде дифференциальных уравнений или передаточных функций.
Итак, пусть структурная схема системы такая, как она изображена на рисунке 4.
Рисунок 4 – Структурная схема системы с двумя воздействиями
Эта же система пусть описывается системой уравнений:
уравнением сравнивающего звена
;уравнением регулятора
, ( 
);уравнением объекта регулирования
, ( ).Здесь p– символ дифференцирования, B, N, D, M, C – полиномы от p. Другими словами, два последних уравнения являются, в действительности дифференциальными уравнения, только записанными в символьной форме. При нулевых начальных условиях применим преобразования Лапласа к каждой части уравнения этой системы уравнений. Тем самым будут получены те же самые уравнения в изображениях: