Структуризация задач принятия решений в условиях определенности Некорректно поставленные задачи (стр. 5 из 6)

Экстремальные задачи (3), (4) обладают важными свойствами.

Теорема 1. Пусть выполнено (2). Тогда задача (3) однозначно разрешима при всяком

Для каждого , найдется такое число , что при любом , для решения задачи (3) справедлива оценка:

Теорема 2. Если выполнено (2), то решение задачи (4) конечно, и при каждом

, для него верна оценка

.

Теорема 3. Если

, то для решения задачи (3) при выполнено неравенство .

Сходимость приближенных решений устанавливает

Теорема 4. Если выполнено условие (2), то

при и обеспечены сильные сходимости в Z:

. При этом .

Введем множество

. Ясно, что . Тогда из приведенной в теореме 4 оценки и из теории оценивания погрешности приближенных решений некорректных задач на множествах типа вытекает

Теорема 5. При выполнении условий (2) метод (3), (4) гарантирует при любом р>0 оптимальный порядок точности приближенного решения для задач (1), у которых

.

Рассмотрим случай, когда оператор А – вполне непрерывный. Тогда множество

- образ слабого компакта в Z – является сильным компактом. Это следует из того, что оператор также будет вполне непрерывным. По этой причине задача решения уравнения (1) приобретает интересные свойства. На основе этих свойств могут быть построены регуляризирующие алгоритмы, допускающие апостериорную оценку погрешности решения.

Отметим теперь следующий тривиальный результат.

Теорема 6. Если в дополнение к условиям теоремы 5 известны, что оператор А нормально разрешим, то алгоритм (3), (4) при любом р > 0 дает точность

.

5. Из теорем 5,6 следует, что алгоритм (3), (4), не используя данных о степени р истокообразной представимости элемента

, в процессе решения задачи сам «настраивается» на нужную величину р. В связи с этим дадим

Определение. Регуляризирующий алгоритм называется адаптивным для задач (1) с решениями из некоторого семейства множеств {

}, зависящих от параметра р, если: 1) он не использует явно величину р, определяемую включением ; 2) он оптимален по порядку точности для всякого независимо от допустимого параметра р.

Примером адаптивного РА служит алгоритм (3), (4). Имеются и другие адаптивные РА, для которых справедливы такие же результаты, как в теоремах 4-6. К числу таких РА относятся специализированный метод регуляризации А.Н. Тихонова, эквивалентный методу (3), (4), специализированный метод квазирешений, получаемый из обычного метода квазирешений [5] по схеме, которая использована в методе (3), (4). Все эти адаптивные алгоритмы были программно реализованы в системе MATLAB и показали свою высокую эффективность в численных эксперементах.

6. Остановимся особо на случае, когда при выполнении условий (2) степень истокопредсавимости р точного решения задачи (1) известна. Тогда нет необходимости использовать величину r. В качестве приближения к

в этом случае можно взять элемент - решение задачи (3) при

Справедлива

Теорема 7. Гарантированы сильные сходимости:

. Приближение имеет оптимальный порядок точности . Если оператор А нормально разрешим, то при всяком р > 0 верна оценка: . (Ист. №7)

Кроме специализированного метода невязки, адаптивными являются также и некоторые другие регуляризующие алгоритмы. Сформулируем и кратко обсудим важнейшие из них.

Специализированный метод регуляризации А. Н. Тихонова.Он основан на решении следующей параметрической задачи: при фиксированном β > 0 и при заданном параметре α>0 найти элемент

, такой что

(5.1)

Алгоритм этого метода состоит из таких шагов: 1) выбор параметра регуляризации α(δ,β)>0 для каждого β > 0 по (обобщенному) принципу невязки , то есть как решение уравнения

(5.2)

2)использование элементов

, получаемых в результате решения задачи (5.1) с

, для нахождения числа по правилу

3) принятие в качестве приближения к

элемента Имеется тесная связь метода регуляризации с выбором параметра регуляризациипо (обобщенному) принципу невязки и метода невязки.

Теорема 8.Элемент

, вычисляемый в шагах 1, 2 алгоритма специализированного метода регуляризации, по крайней мере при достаточно малых δ совпадает с элементом , полученным в специализированном методе невязки. Число , определяемое этими алгоритмами, — одно и то же при таких δ.

Доказательство . Существование единственного решения задачи (5.1) следует из общей теории метода регуляризации линейных некорректных задач в гильбертовых пространствах. Существование и единственность параметра регуляризации

, выбираемого из условия (5.2), при каждом фиксированном βвытекает из результатов работ. Установлена эквивалентность принципа и метода невязки при решении линейных операторных уравнений в гильбертовых пространствах в случае, если и δ достаточно мало. Поэтому при каждом > 0. Но тогда задача нахождения величины оказывается одной и той же для обоих специализированных алгоритмов и поэтому имеет одно и то же решение.

В силу установленной в теореме 4.1 эквивалентности алгоритмов специализированного метода регуляризации и специализированного метода невязки для первого из них справедливы те же результаты о сходимости и оптимальности порядка точности приближений, что и для второго. Это можно суммировать так.

Теорема 9.Пусть выполнены условия (2). Тогда для величин

, и , полученных по специализированному методу регуляризации, гарантируются сходимости при .