Интересные примеры в метрических пространствах

Интересные примеры

в метрических пространствах:

1. В n-мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром e, то вершины этих кубиков будут образовывать конечную

-сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри этого куба.

1. Единичная сфера S в пространстве l₂ дает нам пример ограниченного, но не вполне ограниченного множества. Рассмотрим в S точки вида:

е₁=(1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),

е₂=(0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),

…………………………,

е_n=(0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),

………………………….

Расстояние между любыми двумя точками е_nи е_м (n¹m) равно Ö2. Поэтому последовательность {е_i} и любая ее подпоследовательность не сходятся. Отсюда в S не может быть конечной e-сети ни при каком e<Ö2/2.

2. Рассмотрим в l₂множество П точек

x=(x₁, x₂, ¼, x_n, ...),

удовлетворяющих условиям:

| x₁|£1, | x₂|£1/2, ¼,| x_n|£1/2^n-1, ...

Это множество называется фундаментальным параллепипедом («гильбертовым кирпичем») пространства l₂. Оно представляет собой пример бесконечномерного вполне ограниченного множества. Для доказательства его полной ограниченности поступим следующим образом.

Пусть e>0 задано. Выберем n так, что 1/2^n-1<e/2. Каждой точке x=(x₁, x₂, ¼, x_n, ...)

из П сопоставим точку x*=(x₁, x₂, ¼, x_n, 0, 0, ...)

из того же множества. При этом

r(x,x*)=

£ <1/2^n-1<e/2.

Множество П* точек вида x*=(x₁, x₂, ¼, x_n, 0, 0, ...) из П вполне ограничено (как ограниченное множество в n-мерном пространстве). Выберем в П* конечную e/2-сеть. Она будет в то же время e-сетью во всем П. Докажем это.

Доказательство: для "e>0, выберем n так, что 1/2^n-1<e/2.

"xÎП: x=(x₁, x₂, ¼, x_n, ...) сопоставим

x*=(x₁, x₂, ¼, x_n, 0, 0, ...) и x*ÎП. При этом r(x,x*)<e/2. Из пространства П выберем x**: r(x*,x**)<e/2.

Тогда: r(x,x**)£r(x,x*)+r(x*,x**)<e/2+e/2=e.

Множество П* содержит точки вида x*=(x₁, x₂, ¼, x_n, 0, 0, ...), в этом множестве выберем конечную e/2-сеть. Она будет e-сетью в пространстве П, так какr(x,x**)<e.