Сума накопиченого боргу Актуарний метод розвязку задач (стр. 1 из 3)
КОНТРОЛЬНА РОБОТА
з дисципліни “Основи фінансової та актуарної математики”
1. Задача № 1 (Варіант №1)
Визначити відсотки І, суму накопиченого боргу S, якщо позичка дорівнює Р, термін позички n, відсотки прості по ставці і.
Р = 600000
n = 3
i= 20%
Рішення
1. Розраховуємо суму накопиченого боргу S для постійних простих відсотків, заданих в якості річної відсоткової ставки та для строку позички в цілих роках. Повернення позички та нарахованих відсотків – після закінчення строку кредитного договору.
2. Розраховуємо суму відсотків за кредит:
2. Задача № 2 (Варіант №1)
Є зобов’язання погасити за 2 роки (з 12.03.2000 по 12.03.2002 р.) борг у сумі 15 млн.грн. Кредитор згодний одержувати часткові платежі. Відсотки нараховуються по ставці 20% річних. Часткові надходження характеризуються наступними даними (тис. грн.):
- 12.04.2000 р. – 550 тис. грн.
- 12.09.2000 р. – 5 000 тис .грн.
- 30.06.2001 р. – 6 000 тис. грн.
- 12.09.2001 р. – 3 000 тис. грн.
- 12.03. 2002 р. - ? (залишок) тис. грн.
Використовуючи актуарний метод, розв’язати завдання та скласти контур операції.
Рішення
1. Оскільки часткові суми кредиту погашаються нерівними частинами помісячно з різним терміном, розрахунки проведемо для реальної тривалості року 365(366) днів при заданій простій річній відсотковій ставці і = 20%.
2. Складаємо вихідний контур операції.
Згідно з вихідними даними, нам відома початкова сума позичкового боргу Р = 15 млн. грн. та перші чотири суми S1 – S4 накопленого боргу, які знаходилися в боржника на протязі строківt1 – t4, указаних в табл. 2.1. Остання п’ята сума часткового повернення боргу S5 знаходилась у боржника на протязі повного строку позичкиt5= 2,0 роки = 366+365 = 731 день (враховуючи, що 2000 рік – високосний).
Таблиця 2.1 - Показники вихідного контуру позичкової операції
| № п/п | Назва операції | Сума операції, тис.грн. | Розрахунковий строк позички, днях |
| 1. | Отримання кредиту Р | 15 000 | 731 |
| 2. | Повернення першої частини кредиту та нарахованих відсотків S1 | - 550 | 31 |
| 3. | Повернення другої частини кредиту та нарахованих відсотків S2 | -5 000 | 183 |
| 4. | Повернення третьої частини кредиту та нарахованих відсотків S3 | -6 000 | 482 |
| 5. | Повернення четвертої частини кредиту та нарахованих відсотків S4 | -3 000 | 548 |
| 6. | Повернення п’ятої частини кредиту та нарахованих відсотків S5 | ? | 731 |
3. За даними табл. 2.1 розраховуємо окремо суми часткового повернення основної суми кредиту P(i) та сплачених нарахованих відсотків I(i) за формулою:
(2.1)За формулою (2.1) розраховуємо суми P(i) та I(i) для перших 4-х періодів.
Розрахувавши часткові суми повернення Р1-Р4, розраховуємо остаточну суму Р5 позикового боргу на кінець строку позикового договору.
4. Розраховуємо загальну суму накопленого позикового боргу S(5) та суму нарахованих відсотків І(5) за формулами:
(2.2) 
5. Враховуючи результати проведених розрахунків будуємо результативний контур позичкової операції (табл. 2.2):
Таблиця 2.2 - Показники результативного контуру позичкової операції
| № п/п | Назва операції | Сума операції, тис.грн. | Розра-хунковий строк позички, днях | Сума частко-вого повернен-ня кредиту, тис.грн. | Сума сплачених відсотків в тис.грн. |
| 1. | Отримання кредиту Р | 15 000 | 731 | - | - |
| 2. | Повернення першої частини кредиту та нарахованих відсотків S1 | - 550 | 31 | 540,8 | 9,2 |
| 3. | Повернення другої частини кредиту та нарахованих відсотків S2 | -5 000 | 183 | 4 545,5 | 454,5 |
| 4. | Повернення третьої частини кредиту та нарахованих відсотків S3 | -6 000 | 482 | 4 744,6 | 1 255,4 |
| 5. | Повернення четвертої частини кредиту та нарахованих відсотків S4 | -3 000 | 548 | 2307,7 | 692,3 |
| 6. | Повернення п’ятої частини кредиту та нарахованих відсотків S5 | -4 007,5 | 731 | 2 861,4 | 1 146,1 |
| Загальна сума операції | -18 555,7 | 15 000 | 3 555,7 | ||
| Загальне подорожчання позики за 2,0 роки | 23,72% | ||||
| Ефективна річна ставка кредиту Р | 11,86% |
3. Задача № 3 (Варіант №1)
Є зобов’язання погасити за 2 роки (з 12.03.2000 по 12.03.2002 р.) борг у сумі 15 млн.грн. Кредитор згодний одержувати часткові платежі. Відсотки нараховуються по ставці 20% річних. Часткові надходження характеризуються наступними даними (тис.грн.):
- 12.04.2000 р. – 550 тис.грн.
- 12.09.2000 р. – 5 000 тис.грн.
- 30.06.2001 р. – 6 000 тис.грн.
- 12.09.2001 р. – 3 000 тис.грн.
- 12.03. 2002 р. - ? (залишок) тис.грн.
Використовуючи метод торговця, розв’язати завдання.
Рішення
Нарощування первинної суми кредиту за відсотковою ставкою по формулі (3.1) попередньої задачі має назву декурсивного методу нарахування відсотків (або актуарного методу нарахування відсотків).
Окрімвідсотковоїставки і існуєоблікова ставка d (інша назва – ставка дисконту), величина якої визначається формулою:
(3.1)де D – сумма дисконта, як різниця між сумою позики Р та нарощеної суми загального позикового боргу Sна момент погашення позики.
Хоч, в основномуоблікова ставка застосовується в дисконтуванні, тобто в процесі, обратному до нарахування відсотків, іноді вона застосовується для нарощення методомантисипативнихвідсотків (метод торгівця).
Нарахування простих декурсивнихта антисипативних відсотків в нарощених сумах позикових боргів виконується за різними формулами:
- декурсивнівідсотки (актуарний метод):
(3.2)- антисипативнівідсотки (метод торгівця):
(3.3)n – тривалість позики в роках.
Відповідно з формулами (3.2), (3.3) ставка дисконту d, еквівалентна відсотковій ставці і, розраховується по формулам:
(3.4)Відповідно, проста річна ставка дисконту dв задачі дорівнює:
За формулою (3.3), використовуючи вихідні дані табл.2.1, розраховуємо суми P(i) та I(i) для перших 4-х періодів. Розрахувавши часткові суми повернення Р1-Р4, розраховуємо остаточну суму Р5 позикового боргу на кінець строку пози-кового договору.
4. Розраховуємо загальну суму накопленого позикового боргу S(5) та суму нарахованих відсотків І(5) за формулами:
(2.2) 
5. Враховуючи результати проведених розрахунків будуємо результативний контур позичкової операції (табл. 3.1):
Таблиця 3.1 - Показники результативного контуру позичкової операції
| №п/п | Назва операції | Сума операції, тис.грн. | Розра-хунковий строк позички, днях | Сума частко-вого повернен-ня кредиту, тис.грн. | Сума сплачених відсотків в тис.грн. |
| 1. | Отримання кредиту Р | 15 000 | 731 | - | - |
| 2. | Повернення першої частини кредиту та нарахованих відсотків S1 | - 550 | 31 | 543,3 | 6,7 |
| 3. | Повернення другої частини кредиту та нарахованих відсотків S2 | -5 000 | 183 | 4 642,0 | 358,0 |
| 4. | Повернення третьої частини кредиту та нарахованих відсотків S3 | -6 000 | 482 | 4 866,2 | 1 133,8 |
| 5. | Повернення четвертої частини кредиту та нарахованих відсотків S4 | -3 000 | 548 | 2357,0 | 643,0 |
| 6. | Повернення п’ятої частини кредиту та нарахованих відсотків S5 | -3 629,6 | 731 | 2 591,5 | 1 038,1 |
| Загальна сума операції | -18 179,6 | 15 000 | 3 179,6 | ||
| Загальне подорожчання позики за 2,5 роки | 21,2% | ||||
| Ефективна річна ставка кредиту Р | 10,6% |
4. Задача № 4 (Варіант №1)
Якого розміру досягне борг, рівний Р, через nроків при рості по складній ставці проценту і річних?
Р = 800000
n = 5
I = 15%
Рішення
1.Розраховуємо суму накопиченого боргу S для постійних складних відсотків, заданих в якості річної відсоткової ставки та для строку позички в цілих роках. Повернення позички та нарахованих відсотків – після закінчення строку кредитного договору.
2. Розраховуємо суму відсотків за кредит: