Функции нескольких переменных в экономических задачах (стр. 2 из 3)

Ответ: x=225•450² ; y=18³•10⁶

Задача 2.

Заданы производственная функция, цены на единицу первого и второго ресурсов, а также ограничения I в сумме, которая может быть потрачена на приобретение ресурсов (сумма ≤ I). Найти значения величин используемых ресурсов (х, у), при которых фирма-производитель получит наибольшую прибыль:

, p₁=2, p₂=4, I=12.

Решение.

Следует максимизировать функцию π(х,у) =

-2x-4y;

(П(х,y)=D(x,y)-C(x,y)), но при условии, что C(x,y) ≤ I

2х + 4у ≤ 12.

Итак, имеем задачу максимизации функции π(х,у) =

-2x-4y, т.е. надо найти глобальный экстремум в области, ограниченной прямой 2х + 4у ≤ 12, или х≤6-2у, осью ОХ и осью ОУ (так как x>0, y>0).

Построим этот график:

а) Найдем стационарные точки внутри области Д (найдем π_х’и π_y’ и приравняем к 0):

π_х’=

π_y’ =

;

;

стационарных точек нет.

б) Найдем стационарные точки на границах области:

· x=6-2y

П=

П

=0

x=6-2•1,2=3,6 (3,6; 1,2) – стационарная точка

обл. Д и х=6-2у

· х=0 (ось ОУ)

П=-4y

П

=-4≠0

стационарных точек нет

· у=0 (ось ОХ)

П=-2х

П

=-2 ≠ 0

стационарных точек нет

↓

Найдена одна стационарная точка (3,6;1,2), которая показывает сочетания величин х и у (используемых ресурсов), при которых фирма получит наибольшую прибыль. При этом фирма потратит всю выделенную на это сумму – 12.

Ответ: x=3,6, y=1,2.

Задача 3.

Потребитель имеет возможность потратить сумму 1000 ден. ед. на приобретение х единиц первого товара и у единиц второго товара. Заданы функция полезности U(x, у) и цены p₁,р₂за единицу соответственно первого и второго товаров. Найти значения (х, у), при которых полезность для потребителя будет наибольшей:

p₁=0,2, p₂=4.

Решение.

Рассмотрим линии уровня функции полезности U(x,у)=С, т.е.

(С=const). Используя свойства логарифмов, имеем:

, т.е. , где

Таким образом, линии уровня представляют собой график функции

(кривая безразличия)

Легко видеть, что максимальное значение A, а следовательно, и уровня С достигается в том случае, если соответствующая кривая безразличия касается прямой (линии уровня затрат) 0,2х+ 4у =1000. Так как градиент в каждой точке перпендикулярен линии уровня, то из этого следует, что условие максимальности прибыли может быть сформулировано следующим образом:

gradU(x,y)

(0,2x+4y=1000)

Так как у=

. Угловой коэффициентпрямой, проходящей через gradUравен .

Из условия перпендикулярности прямых имеем

т.е.

=20, x-5y=-3

Следовательно, оптимальное распределение потребления товаров находится как решение системы:

т.е.

Ответ: x=997,6; Y=200,12 - значения, при которых полезность для потребителя будет наибольшей.

Задача 4.

Прибыль П автомобильного завода от производства одного автомобиля определяется формулой

, где x – затраты на материалы, млн. руб., (х>0), у – затраты на оплату рабочей силы, млн. руб., (у>0),2 млн. руб. – постоянные затраты.

Значения х и у, при которых прибыль завода максимальна, а суммарные затраты на один автомобиль не превышают 27 млн. руб. равны…

Решение.

Известно, что

. Так как П(х,y)=D(x,y)-C(x,y) С=х+у+2, но при этом С≤27 млн. руб. Следует максимизировать функцию , но при условии, что х+у+2≤ 27.

Итак, имеем задачу максимизации функции, т.е. надо найти глобальный экстремум для П(х,y) в области, ограниченной прямой x+y≤25 , осью ОХ и ОУ (так как х>0, y>0). Построим этот график:

а) Найдем стационарные точки внутри области Д. Для этого найдем π_х’и π_y’ и приравняем к 0:

π_х’=0,25y-1

π_y’ =0,25x-1

π_х’=0; π_y’=0

(4;4) – стационарная точка

П(4;4)=0,25•4•4-4-4-2=-6

б) Найдем стационарные точки на границах:

· у=25-х

П=

П

=0

(12,5;12,5) – стационарная точка

обл. Д и у=25-х

П(12,5;12,5)=0,25•12,5•12,5-12,5-12,5-2=12,0625

· х=0 (ось ОУ)

П=-у-2

П

=-1 ≠0

стационарных точек нет

· у=0 (ось ОХ)

П=-х-2

П

=-1 ≠ 0

стационарных точек нет