Топологическая определяемость верхних полурешёток (стр. 1 из 6)

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Топологическая определяемость верхних полурешёток.

Выполнил:

студент V курса математического факультета

Малых Константин Леонидович

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии В.В. Чермных

Рецензент:

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии Е.М. Вечтомов

Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав. Кафедрой Е.М. Вечтомов

«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина

Киров 2005

Оглавление.

Введение …………………………………………………………………стр. 3

Глава 1 ……………………………………………………………………стр. 4

1. Упорядоченные множества ………………………………………стр. 4

2. Решётки.……………………………………………………………стр. 5

3. Дистрибутивные решётки ………………………………………..стр. 8

4. Топологические пространства……………………………………стр.10

Глава 2…………………………………………………………………….стр.11

1. Верхние полурешётки…………………………………………….стр.11

2. Стоуново пространство …………………………………………..стр.15

Список литературы……………………………………………………….стр.21

Введение.

Дистрибутивная решётка является одним из основных алгебраических объектов. В данной работе рассматривается частично упорядоченное множество P(L) простых идеалов. Оно даёт нам много информации о дистрибутивной решётке L, но оно не может её полностью охарактеризовать. Поэтому, для того, чтобы множество P(L) характеризовало решётку L, необходимо наделить его более сложной структурой. Стоун [1937] задал на множестве P(L) топологию.

В этой работе рассматривается этот метод в несколько более общем виде.

Работа состоит из двух глав. В первой главе вводятся начальные понятия, необходимые для изучения данной темы. Во второй главе рассматриваются верхние полурешётки, а также множество простых идеалов с введенной на нём топологией.

Глава 1.

1. Упорядоченные множества.

Определение: Упорядоченным множеством

называется непустое множество, на котором определено бинарное отношение , удовлетворяющее для всех следующим условиям:

1.Рефлексивность:

.

2.Антисимметричность: если

и , то .

3.Транзитивность: если

и , то .

Если

и , то говорят, что меньше или больше , и пишут или .

Примеры упорядоченных множеств:

1. Множество целых положительных чисел, а

означает, что делит .

2. Множество всех действительных функций

на отрезке и

означает, что для .

Определение: Цепью называется упорядоченное множество, на котором для

имеет место или .

Используя отношение порядка, можно получить графическое представление любого конечного упорядоченного множества

. Изобразим каждый элемент множества в виде небольшого кружка, располагая выше , если . Соединим и отрезком. Полученная фигура называется диаграммой упорядоченного множества .

Примеры диаграмм упорядоченных множеств:

2. Решётки

Определение: Верхней гранью подмножества

в упорядоченном множестве называется элемент из , больший или равный всех из .

Определение: Точная верхняя грань подмножества

упорядоченного множества – это такая его верхняя грань, которая меньше любой другой его верхней грани. Обозначается символом и читается «супремум X».

Согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная верхняя грань существует, то она единственна.

Понятия нижней грани и точной нижней грани (которая обозначается

и читается «инфинум») определяются двойственно. Также, согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная нижняя грань существует, то она единственна.

Определение: Решёткой

называется упорядоченное множество , в котором любые два элемента и имеют точную нижнюю грань, обозначаемую , и точную верхнюю грань, обозначаемую .

Примеры решёток:

1. Любая цепь является решёткой, т.к.

совпадает с меньшим, а с большим из элементов .

2.

Наибольший элемент, то есть элемент, больший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают

, а наименьший элемент, то есть меньший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают .