Доказали, что

- идеал. Теперь рассмотрим произвольное объединение.

■
Лемма 4: Подмножества вида
пространства
можно охарактеризовать как компактные открытые множества. Доказательство.

Действительно, если семейство

открытых множеств покрывает множество

, т.е.

, то

Отсюда следует, что

для некоторого конечного подмножества

, поэтому

. Таким образом, множество

компактно.

Пусть открытое множество
r(I) компактно, тогда

и можно выделить конечное подпокрытие

для некоторых

.
Покажем, что I порождается элементом

.
Предположим, что это не так, и в идеале I найдётся элемент b не лежащий в

. Тогда
[b) – коидеал, не пересекающийся с

. По лемме 2 найдётся простой идеал
P содержащий

и не пересекающийся с
[b). Получаем,

, т.к.

(т.е.

), но

, т.к.

, противоречие. Следовательно, компактным открытым множеством
r(I) будет только в случае, если

- главный идеал.■
Предложение 5: Пространство
является
- пространством. Доказательство.
Рассмотрим два различных простых идеала

и
Q. Хотя бы один не содержится в другом. Допустим для определённости, что

. Тогда
r(P) содержит
Q, но не содержит
P, т.е.
SpecL является

- пространством. ■
Теорема 6: Стоуново пространство
определяет полурешётку
с точностью до изоморфизма. Доказательство.
Нужно показать, что две полурешётки

и

изоморфны тогда и только тогда, когда пространства

и

гомеоморфны.

Очевидно, если решётки изоморфны, то пространства, образованные этими полурешётками будут совпадать.

Пусть

и

гомеоморфны (

) и

. Тогда
a определяет компактное открытое множество
r(a)
. Множеству
r(a) соответствует компактное открытое множество

, с однозначно определённым элементом

по лемме 4. Таким образом получаем отображение

:

, при котором

. Покажем, что

- изоморфизм решёток. Если
a,b – различные элементы из

, то

, следовательно,

, поэтому

и

- инъекция.
Для произвольного

открытому множеству

соответствует

и очевидно

, что показывает сюръективность

.
Пусть a,b – произвольные элементы из

. Заметим, что

. Открытому множеству

при гомеоморфизме

соответствует открытое множество

, а

соответствует

. Следовательно,

=

. Поскольку

=

, то

, т.е.

■
Литература.
1. Биргкоф Г. Теория решёток. – М.:Наука, 1984.
2. Гретцер Г. Общая теория решёток. – М.: Мир, 1982.
3. Чермных В.В. Полукольца. – Киров.: ВГПУ, 1997.