Доказательство.
Пусть X – множество всех идеалов в L,содержащих I и не пересекающихся с D. Покажем, что X удовлетворяет лемме Цорна.
Пусть C – произвольная цепь в X и

Если

, то

для некоторых

Пусть для определённости

. Тогда

и

, т.к.

- идеал. Поэтому

. Обратно, пусть

, тогда

, для некоторого

Получаем

, откуда

.
Доказали, что M – идеал, очевидно, содержащий I и не пересекающийся с D, т.е.

. По лемме Цорна
X обладает максимальным элементом, т.е. максимальным идеалом
P среди содержащих
I и не пересекающихся с
D.Покажем, что P – простой. Для этого достаточно доказать, что L\P является коидеалом. Пусть
L\P и

. Поскольку

, то

, иначе в противном случае

по определению идеала. Следовательно,

. Если

, то

и

пересекающихся с
D в силу максимальности
P. Получаем

и

для некоторых элементов

. Существует элемент

такой, что

и

, по определению коидеала, следовательно

и

для некоторых

Заметим, что

и

не лежат в
P, т.к. в противном случае

.
Далее,

, поэтому

для некоторых

и

. Как и прежде

. Кроме того

, поэтому

- нижняя грань элементов
a и
b, не лежащая в
P. ■
В дальнейшем, через

будем обозначать дистрибутивную верхнюю полурешётку с нулём, через

множество всех простых идеалов полурешётки

.
Множества вида

представляют элементы полурешётки

в ч.у. множестве

(т.е.

). Сделаем все такие множества открытыми в некоторой топологии.
Обозначим через

топологическое пространство, определённое на множестве

. Пространство
SpecL будем называть
стоуновым пространством полурешётки
L. Лемма 3: Для любого идеала I полурешётки L положим:
Тогда множества вида
исчерпывают все открытые множества в стоуновом пространстве SpecL. Доказательство.
Нужно проверить выполнение аксиом топологического пространства.
1) Рассмотрим идеал, образованный 0. Тогда

,
но 0 лежит в любом идеале, а значит

.
2) Возьмём произвольные идеалы

и

полурешётки

и рассмотрим

Пусть

. Тогда существуют элементы
a 
и

Отсюда следует, что

, где
L\P – коидеал. По определению коидеала существует элемент
d 
такой, что

и

, значит,

. Т.к.

, следовательно,

. Получаем, что

.
Обратное включение очевидно.
2) Пусть

- произвольное семейство идеалов. Через

обозначим множество всех точных верхних граней конечного числа элементов, являющихся представителями семейства

. Покажем, что

- идеал. Пусть

, тогда

, где

для некоторого идеала

. Тогда

лежит в идеале

, следовательно,

и

, т.е.

. Обратно очевидно.