Топологическая определяемость верхних полурешёток (стр. 4 из 6)

Покажем, что I(L) – решётка, т.е. существуют точные нижняя и верхняя грани для любых A и B.

Покажем, что

совпадает с пересечением идеалов A и B. Во-первых,

- идеал. Действительно, и и Во-вторых, пусть идеал и . Тогда , т.е. - точная нижняя грань идеалов A и B, т.е. .

Теперь покажем, что

совпадает с пересечением всех идеалов , содержащих A и B. Обозначим . Поскольку для

для

, то C идеал. По определению C он будет наименьшим идеалом, содержащим A и B.

(***).

Пусть – верхняя дистрибутивная полурешётка. Покажем, что

.

Пусть

, т.е. (рис.3), для некоторых

Понятно, что

. По дистрибутивности, существуют такие, что . Т.к. A – идеал, то , потому что . Аналогично, . Т.е. . Точно также, . Если , то легко показать, что .

Доказали, что

- идеал. Очевидно, он является верхней гранью идеалов A и B. Если C содержит A и B, то C будет содержать элементы для любых , т.е. Поэтому , поскольку является верхней гранью идеалов A и B и содержится в любой верхней грани.

Теперь покажем, что выполняется равенство:

.

. Пусть , где , . Т.к. , то , откуда и следовательно . Аналогично, , значит,

. Пусть ,где .

Отсюда следует дистрибутивность решётки

.

– дистрибутивная решётка, . Теперь рассмотрим идеалы, образованные этими элементами:

(

,будет нижней границей для ). Поэтому , что и доказывает дистрибутивность полурешётки . ■

2. Стоуново пространство.

Определение: Подмножество

верхней полурешётки называется коидеалом, если из неравенства следует и существует нижняя граница множества , такая, что .

Определение: Идеал

полурешётки называется простым, если и множество является коидеалом.

В дальнейшем нам потребуется лемма Цорна, являющаяся эквивалентным утверждением аксиоме выбора.

Лемма Цорна. Пусть A – множество и X – непустое подмножество множества P(A). Предположим, что X обладает следующим свойством: если C – цепь в <

>, то

. Тогда X обладает максимальным элементом.

Лемма 2: Пусть

– произвольный идеал и

– непустой коидеал дистрибутивной верхней полурешётки

. Если

, то в полурешётке

существует простой идеал

такой, что

и

.