Топологическая определяемость верхних полурешёток (стр. 2 из 6)

На решётке можно рассматривать две бинарные операции:

- сложение и

- произведение

Эти операции обладают следующими свойствами:

1.

, идемпотентность

2.

, коммутативность

3.

,

ассоциативность

4.

,

законы поглощения

Теорема. Пусть

- множество с двумя бинарными операциями

, обладающими свойствами (1) – (4). Тогда отношение

(или

) является порядком на

, а возникающее упорядоченное множество оказывается решёткой, причём:

Доказательство.

Рефлексивность отношения

вытекает из свойства (1). Заметим, что оно является следствием свойства (4):

Если

и , то есть и , то в силу свойства (2), получим . Это означает, что отношение антисимметрично.

Если

и , то применяя свойство (3), получим: , что доказывает транзитивность отношения .

Применяя свойства (3), (1), (2), получим:

,

.

Следовательно,

и

Если

и , то используя свойства (1) – (3), имеем:

, т.е.

По определению точней верхней грани убедимся, что

Из свойств (2), (4) вытекает, что

и

Если

и , то по свойствам (3), (4) получим:

Отсюда по свойствам (2) и (4) следует, что

, т.е.

Таким образом,

. ■

Пусть

решётка, тогда её наибольший элемент характеризуется одним из свойств:

1.

2.

.

Аналогично характеризуется наименьший элемент

:

1.

2.

.

3. Дистрибутивные решётки.

Определение: Решётка

называется дистрибутивной, если для выполняется:

1.

2.

В любой решётке тождества (1) и (2) равносильны. Доказательство этого факта содержится в книге [1], стр. 24.

Теорема: Решётка

с 0 и 1 является дистрибутивной тогда и только тогда, когда она не содержит подрешёток вида

Доказательство этого факта можно найти в книге [2].

Далее под словом “решётка” понимается произвольная дистрибутивная решётка с 0 и 1 (причём

).

Определение: Непустое множество

называется идеалом в решётке , если выполняются условия:

1.

2.

Определение: Идеал

в решётке называется простым, если

или .

Идеал, порождённый множеством Н (т.е. наименьший идеал, содержащий H), будет обозначаться (Н]. Если Н = {a}, то вместо ({a}] будем писать (a] и называть (a] главным идеалом.

Обозначим через I(L) множество всех идеалов решётки L. I(L) будем называть решёткой идеалов.

Определение: Решётки

и называются изоморфными (обозначение: ), если существует взаимно однозначное отображение , называемое изоморфизмом, множества на множество , такое, что

,

.

4. Топологические пространства.

Определение: Топологическое пространство – это непустое множество

с некоторой системой выделенных его подмножеств, которая удовлетворяет аксиомам: