Количественные методы в управлении (стр. 3 из 4)
Красным цветом высвечены доминируемые точки (операции), а зеленым – недоминируемые, т.е. оптимальные по Парето. Оптимальными по Парето являются 1-я,2-я и 4-я операции.
Теперь выберем две операции (1-ю: Q1 и 4-ю: Q4), предположим, что они независимы друг от друга и выясним, нет ли операции, являющейся их линейной комбинацией и более хорошей, чем какая-либо из имеющихся.
Пусть Q1 и Q4 две финансовые операции со средним ожидаемым доходом 4,2 и 16,25 и рисками 5,19 и 6,12 соответственно. Пусть t - какое-нибудь число между 0 и 1 . Тогда операция Qt=(1-t)Q1+tQ4 называется линейной комбинацией операций Q1,Q4. Средний ожидаемый доход операции Qt равен M[Qt] = 4,2* (1-t) + 16,25*t, а риск операции Qt равен rt =Ö(26,94*(1-t)2+37,44*t2). Была найдена операция Q*, являющаяся линейной комбинацией исходных операций, со средним ожидаемым доходом 9,14 и риском 3,96, которая превосходит все имеющиеся операции по риску.
Определить лучшую и худшую операции можно также с помощью взвешивающей формулы f(Q)= 2*M[Q] – r. Имеем: f(Q1)=3,21; f(Q2)=7,86; f(Q3)=7,28; f(Q4)=26,38. Следовательно, 4-я операция является самой лучшей, а 1-я – самой худшей.
2.3 Статистический анализ денежных потоков.
Исходные данные для анализа: ежедневные (суммарные) денежные вклады населения в отделение сбербанка в течение 4-х недель (или аналогичный какой-нибудь денежный поток).
Исходные данные:
| 1-я неделя | 2-я неделя | 3-я неделя | 4-я неделя | ||||||||||||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 6 | 5 | 13 | 15 | 14 | 13 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 3 | 1 | 17 | 19 | 5 | 4 |
Денежный поток:
| 6 | 5 | 13 | 15 | 14 | 13 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 3 | 1 | 17 | 19 | 5 | 4 |
Ранжированный ряд:
| 1 | 3 | 4 | 5 | 5 | 6 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 13 | 13 | 14 | 15 | 17 | 19 |
Дискретный вариационный ряд:
| значения | 1 | 3 | 4 | 5 | 6 | 9 | 12 | 13 | 14 | 15 | 17 | 19 |
| частоты | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 6 | 6 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| частости | 1/24 | 1/24 | 1/24 | 2/24 | 1/24 | 6/24 | 6/24 | 2/24 | 1/24 | 1/24 | 1/24 | 1/24 |
Многоугольник частот:
Интервальный вариационный ряд:
| Границы интервалов | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | |||||||||||||
| Середины интервалов | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | ||||||||||||||
| Частоты | 1 | 1 | 3 | 1 | 6 | 0 | 8 | 2 | 1 | 1 | ||||||||||||||
| Частости | 1/24 | 1/24 | 3/24 | 1/24 | 6/24 | 1/24 | 8/24 | 2/24 | 1/24 | 1/24 | ||||||||||||||
Многоугольник частостей:
Выборочная функция распределения:
Статистические характеристики:
| По исходному ряду | По дискретному ряду | По интервальному ряду | |
| Выборочная средняя | 10,4 | 10,4 | 10,42 |
| Выборочная дисперсия | 18,79 | 18,79 | 19,88 |
| Выборочное СКО | 4,33 | 4,33 | 4,46 |
| Несмещенная оценка ген. диспер. | 19,61 | 19,61 | 20,75 |
Необходимые формулы и расчеты:
2.4 Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг.
3. Модели сотрудничества и конкуренции.
3.1 Сотрудничество и конкуренция двух фирм на рынке одного товара.
Рассмотрим две фирмы, i=1,2, выпускающие один и тот же товар. Пусть затраты i-й фирмы при выпуске x[i] равны a[i]*x[i] (таким образом, a[i] есть себестоимость выпуска одной единицы товара i-й фирмой). Произведенный обеими фирмами товар поступает на общий рынок. Цена на товар линейно падает в зависимости от поступающего на рынок общего его количества: p(x)=c-bx, c,b>0, где x=x[1]+x[2]. Следовательно, прибыль i-ой фирмы равна W[i](x[1],x[2])=x[i]*(c-bx)-a[i]*x[i]=bx[i]*(d[i]-(x[1]+x[2])),где d[i]=(с-a[i])/b. Поведение каждой фирмы определяется ее стремлением максимизировать свою прибыль.
Дано: a[1]=5, a[2]=6, b=9, c=77.
Тогда: p(x)=77-9*x d[1]=(с-a[1])/b=(77-5)/9=8 d[2]=(с-a[2])/b=(77-6)/9=7,89
W[1](x[1],x[2])= bx[1]*(d[1]-(x[1]+x[2]))= 9*x[1]*(8-(x[1]+x[2]))
W[2](x[1],x[2])= bx[2]*(d[2]-(x[1]+x[2]))= 9*x[2]*(7,89-(x[1]+x[2]))
Допустим, что первая фирма узнала стратегию второй, т.е. объем ее выпуска x[2]. Токда она выбрала бы свой выпуск из условия максимизации прибыли:
¶W[1]/ ¶x[1]= b*(d[1]-(x[1]+x[2])) – b* x[1]=0, т.е. x*[1]= (d[1]-x[2])/2=(8-x[2])/2
Аналогично для второй фирмы: x*[2]= (d[2]-x[1])/2=(7,89-x[1])/2
x*[2], x*[1] – оптимальные выпуски 1-ой и 2-ой фирм при условии, что они знают выпуск конкурента.
Теперь предположим, что производственные циклы фирм совпадают, т.е. a[1]=a[2]=5. Пуcть фирмы выбирают свои оптимальные выпуски, зная объем производства своего конкурента за прошлый период. Предположим, что d[1]/2<d[2]<2d[1], тогда эти прямые пересекаются в точке K с координатами x[1]=(2d[1]-d[2])/3, x[2]=(2d[2]-d[1])/3. Эта точка называется точкой Курно. Как видно на риссунке последовательность стратегий фирм сходится к этой точке. Так как а[1]=a[2], то d[1]=d[2]=8, тогда точка Курно K(d/3,d/3), x[i]=d/3, прибыли фирм W[i]=b*d2/9, цена p=c-2*b*d/3. И еще одно условие x<=c/b<=d .
d[1]/2<d[2]<2d[1] - 8/2<8<2*8 - верно.
Нанесем на плоскость x [1] x[1] прямые-множества стратегий фирм в ответ на известную стратегию другой фирмы x*[1]=(8-x[2])/2 и x*[2]=(8-x[1])/2 и найдем точку их пересечения. x[1],х[2]=d/3=8/3=2,67. Далее определим прибыли фирм W[1], W[2]=b*d2/9=9*64/9=64, p=c-2*b*d/3=77-2*9*8/3=29.
Теперь посмотрим, как действует модель Курно. Пусть 7,8 и 0,1 – выпуски фирм за прошлый год и каждая фирма знает этот выпуск своего конкурента. Тогда, зная его она применяет свою оптимальную стратегию с целью максимизировать прибыль. Убедимся, что после некоторого количества итераций они окажутся в точке Курно.
| N | Выпуск | Цена | Прибыли | ||
| 1-я фирма | 2-я фирма | 1-я фирма | 2-я фирма | ||
| 0 | 7,8 | 0,1 | |||
| 1 | 3,95 | 0,1 | 40,55 | 140,42 | 3,56 |
| 2 | 2,99 | 2,03 | 31,89 | 80,33 | 54,45 |
| 3 | 2,75 | 2,51 | 29,72 | 64,93 | 62,09 |
Как видно уже при 3-ей операции выпуски и прибыли 1-ой и 2-ой фирмы и цена значительно приблизились к точке Курно. Посмотрим это графически.
Зеленым цветом обозначены точки последовательных итераций, а красным – точка Курно.
3.2 Кооперативная биматричная игра как модель сотрудничества и конкуренции двух участников.
Математической моделью конфликтов с двумя участниками являются биматричные игры. Такая игра 2х2 задается биматрицей (aij,bij) . В кооперативном варианте такой игры игроки могут согласованно выбирать элемент биматрицы. Если они выбрали элемент (a,b), то Первый игрок получает a , а Второй получает b . Цели игроков одинаковы - выиграть как можно больше в расчете на партию в среднем. Пусть (x,y), (a,b) - две точки из CE. Говорят, что (x,y) доминирует (a,b) если x>=a, y>=b и хотя бы одно из этих неравенств строгое. Недоминируемые точки называются оптимальными по Парето, а их множество - множеством оптимальности по Парето. Еще более узкое множество называется переговорным. Оно определяется так: пусть Vk - максимальный выигрыш, который k-й игрок может обеспечить себе при любой стратегии другого игрока, тогда переговорное множество определяется как множество тех точек множества Парето, у которых k-я координата не меньше Vk. Для нахождения Vk на до решить две задачи ЛП:
V1-->max, a11*x+a21*(1-x)>=V1,a11*x+a12*(1-x)>=V1, 0<=x<=1;
V2-->max, a11*y+a12*(1-y)>=V2,a21*y+a22*(1-y)>=V2, 0<=y<=1.
Дано:
биматрица
| 2 | 2 | 6 | 6 |
| 8 | 7 | 9 | 1 |
Нанесем на плоскость элементы биматрицы и начертим выпуклую оболочку.
Где красным и зеленым цветом обозначено множество оптимальности по Парето, а зеленым – та его часть, которая является переговорным множеством. V1=8, V2=4.
Цена игры первого игрока V1 находится легко, так как в матрице аij есть седловая точка а[2,1]=8. Основная теорема матричных игр утверждает, что для любой матричной игры max{min{M[P,Q]:Q}:P}=min{max{M[P,Q]:P}:Q}, т.е. во множестве смешанных стратегий есть седловая точка, дающая оптимальное решение игры. Поэтому V1= а[2,1]=8, а оптимальная стратегия 1-го игрока Р*=(0 1), так как ему выгодно выбирать все время 2-ю строку.