Количественные методы в управлении (стр. 2 из 4)

2.1 Принятие решений в условиях неопределенности.

2.2 Анализ доходности и рискованности финансовых операций.

Таблица №5.

m	100	200	300	400	500	600	700
F₃(m)	28	53	70	90	106	121	135
z₃(m)	0	0	0	0	0	100	100

В следующей таблице заполняем только одну диагональ для значения m = 700.

Таблица №6.

m-x₄	0	100	200	300	400	500	600	700
x₄		f₄(x₄)/ F₃(m-x₄)	0	28	53	70	90	106	121	135
0		0	0	28	53	70	90	106	121	135
100		20	20	48	73	90	110	126	141
200		33	33	61	86	103	123	139
300		42	42	70	95	112	132
400	48		48	76	101	118
500	53		53	81	106
600	56		56	84
700	58		58

m	100	200	300	400	500	600	700
F₄(m)	28	53	73	90	110	126	141
z₄(m)	0	0	0	0	100	100	100

Сведем результаты в таблицу №7.

m	100	200	300	400	500	600	700
F1(m)=f₁(x₁)	28	45	65	78	90	102	113
z1=x1	100	200	300	400	500	600	700
F₂(m)	28	53	70	90	106	120	133
z₂(m)	0	100	100	100	200	300	300
F₃(m)	28	53	70	90	106	121	135
z₃(m)	0	0	0	0	0	100	100
F₄(m)	28	53	73	90	110	126	141
z₄(m)	0	0	0	0	100	100	100

Теперь F₄(700)=141 показывает максимальный суммарный эффект по всем 4-м фирмам, а z₄(700)=100 - размер инвестиций в 4-ю фирму для достижения этого максимального эффекта. После этого на долю первых 3-х фирм осталось (700-100) и для достижения максимального суммарного эффекта по первым 3-м фирмам в 3-ю надо вложить 100 и т.д. Голубым цветом отмечены оптимальные значения инвестиций по фирмам и значения эффектов от них.

Таким образом, наилучшим является следующее распределение капитальных вложений по предприятиям: х₁*=300; х₂*=200; х₃*=100; х₄*=100. Оно обеспечивает производственному объединению наибольший возможный прирост прибыли 141 тыс.руб.

2. Анализ финансовых операций и инструментов.

Предположим, что ЛПР (Лицо, Принимающее Решения) обдумывает четыре возможных решения. Но ситуация на рынке неопределенна, она может быть одной из четырех. С помощью экспертов ЛПР составляет матрицу доходов Q. Элемент этой матрицы q[i,j] показывает доход, полученный ЛПР, если им принято i-е решение, а ситуация оказалась j-я. В этой ситуации полной неопределенности могут быть высказаны лишь некоторые соображения о том, какое решение принять. Сначала построим матрицу рисков. Строится эта матрица так: в каждом столбце матрицы доходов находим максимальный элемент d[j] , после чего элементы r[i,j]=d[j]-q[i,j] и образуют матрицу рисков.

Смысл рисков таков: если бы ЛПР знал что в реальности имеет место j-я ситуация, то он выбрал бы решение с наибольшим доходом, но он не знает, поэтому, принимая i-е решение он рискует недобрать d[j]-q[i,j] - что и есть риск.

матрица доходов

Варианты (ситуации)				max	min	Вальд	Гурвиц: lmax+ +(1-l)min; l=1/3
Решения	0	1	2	8	8	0	2,67
	2	3	4	10	10	2	2	4,67
	0	4	6	10	10	0	3,32
	2	6	8	12	12	2	2	5,32

матрица рисков

Правило Вальда называют правилом крайнего пессимизма: ЛПР уверен, что какое-бы решение он ни принял, ситуация сложится для него самая плохая, так что, принимая i-е решение, он получит минимальный доход q[i]=min{q[i,j]:j=1..4}. Но теперь уже из чисел q[i] ЛПР выбирает максимальное и принимает соответствующее решение.

По правилу Сэвиджа находят в каждой строке матрицы рисков максимальный элемент r[i] и затем из чисел r[i] находят минимальное и принимают соответствующее решение.

По правилу Гурвица для каждой строки матрицы доходов находят величину z[i]=l*max{q[i,j]:j=1..4}+(1-l)*min{q[i,j]:j=1..4}, потом находят из чисел z[i] наибольшее и принимают соответствующее решение. Число l каждый ЛПР выбирает индивидуально - оно отражает его отношение к доходу и риску, при приближении l к 0 правило Гурвица приближается к правилу Вальда, при приближении l к 1 - к правилу розового оптимизма, в нашем случае l равно 1/3.

Итак, по правилу Вальда нам следует принять либо 2-ое, либо 4-ое решение. Сэвидж и Гурвиц нам советуют принять 4-ое решение.

Пусть теперь нам известны вероятности ситуаций - p[j]. Имея матрицу доходов Q теперь можно сказать, что доход от i-го решения есть с.в. Q[i] с доходами q[i,j] и вероятностями этих доходов p[j]. Кроме того, риск i-го решения также есть с.в. R[i] с рисками r[i,j] и вероятностями этих рисков p[j].

Тогда М(Q[i]), М(R[i]) - средний ожидаемый доход и средний ожидаемый риск i-го решения. Принимать решение (проводить операцию) нужно такое, у которого наибольший средний ожидаемый доход, или наименьший средний ожидаемый риск.

Варианты (ситуации)								М(Q[i]), М(R[i])
Доходы	0		1		2	8		2
	2		3		4	10		4
	0		4		6	10		4
	2		6		8	12		6
Риски	2	5		6			4	4
	0	3		4			2	2
	2	2		2			2	2
	0	0		0			0	0
p[j]	1/3	1/3		1/6			1/6

М(Q[i])= S(q[i,j]* p[j])М(R[i])= S (r[i,j]* p[j])

Голубым цветом выделен наибольший средний ожидаемый доход (4-ое решение), а красным цветом – наибольший средний ожидаемый риск (4-ое решение). Как видим, они соответствуют одному и тому же решения. Его и следует принять.

Операции: 1-я – (4;2), 2-я – (2;4), 3-я – (2;4), 4-я – (0;6).

Красным цветом высвечены доминируемые точки (операции), а зеленым – недоминируемые, т.е. оптимальные по Парето. Оптимальной по Парето является 4-я операция.

Была проведена пробная операция, которая значительно сместила распределение вероятностей.

Варианты (ситуации)					М(Q[i]), М(R[i])	М(Q[i]), М(R[i])
Доходы	0	1	2	8	2		7,2
	2	3	4	10	4		9,2
	0	4	6	10	4		9
	2	6	8	12	6		11
Риски	2	5	6	4	4		3,8
	0	3	4	2	2		1,8
	2	2	2	2	2		2
	0	0	0	0	0		0
p[j]	1/3	1/3	1/6	1/6
p*[j]	0,1	0	0	0,9

Где p*[j] – вероятности после проведения пробной операции. М*(Q[i]), М*(R[i]) – средний ожидаемый доход и риск после проведения пробной операции.

Максимально оправданная стоимость пробной операции равна М*(Q[i]) - М(Q[i])=11 – 6 = 5.

Теперь выберем какие-нибудь две операции (1-ю и 4-ю), предположим, что они независимы друг от друга и найдем операцию, являющуюся их линейной комбинацией и более хорошую, чем какая-либо из имеющихся.

1-я операция = (4,2); 4-я операция = (0,6)

Результат: нельзя подобрать такой операции, являющейся линейной комбинацией 1-ой и 4-ой операции, которая бы доминировала все имеющиеся операции.

Пусть взвешивающая формула f(Q)=М[Q]/M[R], при M[R] не равным нулю, тогда для 1- 4 операций f₁=0,5; f₂=2; f₃=2; f₄= ¥. Следовательно 4-я операция является самой лучшей (max=¥), а 1-я – самая худшая.

Варианты (ситуации)

Пусть доход от операции Q есть с.в., которую будем обозначать также как и саму операцию Q. Математическое ожидание M[Q]=S(q[i]*p[i]) называют еще средним ожидаемым доходом, а риск операции r = s=ÖD[Q]=Ö(M[Q²]-M²[Q]) отождествляют со средним квадратическим отклонением.

номер операции	Доходы (Q) и их вероятности (Р)				M[Q]	r
1	0	1	5	14	4,2	5,19
1	1/5	2/5	1/5	1/5	4,2	5,19
2	2	4	6	18	6,8	5,74
2	1/5	2/5	1/5	1/5	6,8	5,74
3	0	8	16	20	8	8,72
3	1/2	1/8	1/8	1/4	8	8,72
4	2	12	18	22	16,25	6,12
4	1/8	1/8	1/2	1/4	16,25	6,12

Необходимые расчеты: