Вычисление случайных величин (стр. 1 из 2)
Задача №1.
Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области ABC:
где S – площадь треугольника ABC.
Определить плотности случайных величин X и Y, математические ожидания M(X) и M(Y), дисперсии D(X) и D(Y), а также коэффициент корреляции
. Являются ли случайные величины X и Y независимыми?Решение.
Разделим область ABC на две равные части вдоль оси OX, тогда из условия
или 
следует, что
Тогда плотность двумерной случайной величины (X,Y):
Вычислим плотность составляющей X:
при
, 
откуда плотность составляющей X–
Вычислим плотность составляющей Y:
при
, 
при
, 
Поэтому плотность составляющей Y –
Найдем условную плотность составляющей X:
при
, 
случайные величины X и Y зависимы.Найдем математическое ожидание случайной величины X:
Найдем дисперсию случайной величины X:
Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины X:
Найдем математическое ожидание случайной величины Y:
Найдем дисперсию случайной величины Y:
Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины Y:
Найдем математическое ожидание двумерной случайной величины (X,Y):
Тогда ковариация:
,а значит и коэффициент корреляции
Следовательно, случайные величины X и Y - зависимые, но некоррелированные.
Задача №2
Двумерная случайная величина (X,Y) имеет следующее распределение вероятностей:
| Y | X | |||
| 3 | 6 | 8 | 9 | |
| -0,2 | 0,035 | 0,029 | 0,048 | 0,049 |
| 0,1 | 0,083 | 0,107 | 0,093 | 0,106 |
| 0,3 | 0,095 | 0,118 | 0,129 | 0,108 |
Найти коэффициент корреляции между составляющими X и Y.
Решение.
Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины X:
| X | 3 | 6 | 8 | 9 |
 | 0,213 | 0,254 | 0,270 | 0,263 |
Проверка:
+ 
+ 
+ 
= 0,213 + 0,254 + 0,270 + 0,263 = 1.Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины Y:
| Y | -0,2 | 0,1 | 0,3 |
 | 0,161 | 0,389 | 0,450 |
Проверка:
+ 
+ 
= 0,161 + 0,389 + 0,450 = 1.Вычислим числовые характеристики случайных величин X и Y.
1. Математическое ожидание случайной величины X:
2.Математическое ожидание случайной величины Y:
3. Дисперсия случайной величины X:
4. Дисперсия случайной величины Y:
5. Среднеквадратическое отклонение случайной величины X:
6. Среднеквадратическое отклонение случайной величины Y:
Таблица распределения вероятностей случайной величины X-M(X):
| X-M(X) | 3-M(X) | 6-M(X) | 8-M(X) | 9-M(X) |
 | 0,213 | 0,254 | 0,270 | 0,263 |
Таблица распределения вероятностей случайной величины Y-M(Y):
| Y-M(Y) | -0,2-M(Y) | 0,1-M(Y) | 0,3-M(Y) |
| | 0,161 | 0,389 | 0,450 |
Таблица распределения вероятностей случайной величины [X-M(X)][Y-M(Y)]:
| [X-M(X)][Y-M(Y)] | 1,260873 | 0,153873 |
| P | 0,035 | 0,083 |
| -0,584127 | 0,235773 | 0,028773 | -0,109227 | -0,447627 |
| 0,095 | 0,029 | 0,107 | 0,118 | 0,048 |
| -0,054627 | 0,207373 | -0,789327 | -0,096327 | 0,365673 |
| 0,093 | 0,129 | 0,049 | 0,106 | 0,108 |
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Найдем ковариацию:
Найдем коэффициент корреляции:
Ответ: -0,028.
Задача №3
| Рост, см(X) | Вес, кг (Y) | |||||
| 22,5-25,5 | 25,5-28,5 | 28,5-31,5 | 31,5-34,5 | 34,5-37,5 | ||
| 117,5-122,5 | 1 | 3 | - | - | - | |
| 122,5-127,5 | - | 2 | 6 | 1 | - | |
| 127,5-132,5 | - | 1 | 5 | 5 | - | |
| 132,5-137,5 | - | 1 | 6 | 7 | 2 | |
| 137,5-142,5 | - | - | 1 | 4 | 2 | |
| 142,5-147,5 | - | - | - | 1 | 1 | |
| 147,5-152,5 | - | - | - | - | 1 | |
Результаты обследования 50 учеников:
По данным таблицы требуется:
- написать выборочные уравнения прямых регрессии Y на X и X на Y;
- вычертить их графики и определить угол между ними;
- по величине угла между прямыми регрессии сделать заключение о величине связи между X и Y.
Решение.
Принимая рост всех учеников, попавших в данный интервал, равным середине этого интервала, а вес – равным середине соответствующего интервала, получим так называемую корреляционную таблицу: