Математическое моделирование систем и процессов (стр. 3 из 3)

Рис. 31. Ввод формулы для расчета эмпирической плотности распределения.

Теоретическую плотность распределения найдем, воспользовавшись встроенной функцией ВЕЙБУЛЛ(). Аргументы вводим так же, как когда находили плотность распределения, только первым аргументом теперь будет середина интервала (ячейки столбца M), а последний – «дифференциальная»:

Рис. 32. Ввод функции ВЕЙБУЛЛ().

Полученные расчеты представлены в таблице 2.5.

Таблица 2.5.

Результаты расчета эмпирической и теоретической плотности распределения.

Номер интервала	Нижняя граница	Верхняя граница	Частоты	Частости	середины интервалов	эмпирическая плотность	теоретическая плотность
								№	хi	хi+1	S(х)	Wi(x)=S(x)/n	m	f*	f
0	2410,763402	0	0	0	0
1	2410,763402	4440,763402	7	0,038888889	3425,76340160	0,0000191571	0,0000110622
2	4440,763402	6470,763402	7	0,038888889	5455,76340160	0,0000191571	0,0000322115
3	6470,763402	8500,763402	22	0,122222222	7485,76340160	0,0000602080	0,0000617523
4	8500,763402	10530,7634	35	0,194444444	9515,76340160	0,0000957854	0,0000896313
5	10530,7634	12560,7634	43	0,238888889	11545,7634016	0,0001176793	0,0001018574
6	12560,7634	14590,7634	26	0,144444444	13575,7634016	0,0000711549	0,0000901968
7	14590,7634	16620,7634	18	0,1	15605,7634016	0,0000492611	0,0000608259
8	16620,7634	18650,7634	17	0,094444444	17635,7634016	0,0000465244	0,0000302135
9	18650,7634	20680,7634	5	0,027777778	19665,7634016	0,0000136836	0,0000106194
сумма	180	1

Строим гистограмму эмпирической плотности распределения и график теоретической функции распределения на одном графике. Выполним последовательность команд:

Вставка®Гистограмма ®ОК. Далее нажать «Выбрать данные», в появившемся диалоговом окне ввести данные как показано на рисунке 33.

- Ряд1 ®Изменить на Эмпирическая;

- Ряд2® Изменить на Теоретическая;

- Подписи по горизонтальной оси выбрать верхние границы интервалов;

, нажать ОК.

Рис. 33. Ввод данных для гистограммы.

Получим гистограмму, которая представлена на рисунке 34.

Рис. 34. Гистограмма плотностей распределения.

Чтобы получить график плотности теоретической распределения из гистограммы, щелкнем на гистограмме ряд с данными теоретической плотности распределения, вызвать контекстное меню и выбрать пункт «Изменить тип диаграммы для ряда»:

Рис. 35. Выбор изменения типа диаграммы для ряда.

Выбрать тип диаграммы «Точечная с гладкими кривыми». Далее выбрать Формат подписи данных по горизонтальной оси, и формат числа с числом десятичных знаков 0. Формат Легенду расположить в верхней части диаграммы. После этих преобразований получим график, как на рисунке 36.

Рис. 36. Гистограмма эмпирической плотности распределения и график теоретической плотности распределения.

2.3. Проверка статистической гипотезы о законе распределения.

Гипотеза. Распределение исходных данных о наработке между отказами соответствует закону Вейбулла.

2.3.1. Проверка по критерию Колмогорова гипотезы о том, что закон распределения не противоречит статистическим данным.

Находим наибольшую разницу между эмпирической f^*(x) и теоретической F(x) фyнкциями распределения:

D = max|F(x_i) – F^*(x_i)|, (i=1,2,…,k).

Для этого введем в ячейку D4 формулу для абсолютной разности f* и F, распространим на весь диапазон D4:D183. Затем в ячейке D184 найдем максимальную разность.

Рис. 37. Ввод формул для расчета наибольшей разности между эмпирической и теоретической функция ми распределения.

Получим: D =0,0494875066.

Находим статистику Колмогорова - величину

= 0,049499*√180= 0,66395.

Примем уровень значимости α = 0,05. В соответствии с правилом (параметрический критерий Колмогорова) проверяем, не превышает ли полученная статистика процентную точку распределения Колмогорова

, при данном уровне значимости.

Пользуемся таблицей 2.6. Как видно из этой таблицы λ < 1,3581. Таким образом, гипотеза о том, что закон распределения не противоречит статистическим данным, принимается на уровне значимости 0,05.

Таблица 2.6.

Процентные точки распределения статистики Колмогорова при проверке простой гипотезы[1]

Функция распределения	Верхние процентные точки
	0,15	0,1	0,05	0,025	0,01
K(S)	1,1379	1,2238	1,3581	1,4802	1,6276

2.3.1. Проверка по критерию Пирсона гипотезы о том, что закон распределения не противоречит статистическим данным.

Критерий согласия Пирсона хи-квадрат (χ²) представляет собой сумму квадратов отклонений опытных и теоретических частот в каждом интервале статистического ряда информации и определяется по формуле:

,

где S(xi) – эмпирическая частота в i-том интервале, n∙p_i - теоретическая частота в i-том интервале; n = 180, p_i= F(x_iн) - F(x_iв) – разность значений функции распределения в начале i‑того интервала, и значения функции распределения в конце i‑того интервала.

Для расчетов в Excelcначала в ячейку S12 введем встроенную функцию ВЕЙБУЛЛ(). Аргументом Х возьмем нижнюю границу интервала, в качестве аргументов параметров функции распределения выберем найденные ранее значения из ЛИСТА2:

Рис. 38а. Ввод функции ВЕЙБУЛЛ().

Рис. 38б. Ввод аргументов функции ВЕЙБУЛЛ().

Распространим формулу на остальные интервалы автозаполнением. В следующем столбце, в ячейку S13 введём формулу для расчета разности значений функции распределения в начале и конце интервала (рис.39). И распространим её на все интервалы.

Рис. 39. Ввод формулы разности значений функции распределения в начале и конце интервала.

В следующем столбце рассчитываем теоретические частоты n*pi, для чего введем в ячейку U13 формулу=ОКРУГЛ(T13*180;0).

Рис. 40. Ввод формулы для расчета теоретической частоты.

Распространим формулу на другие интервалы. Так как на первом и последнем интервалах получили теоретические частоты ниже пяти, т.е. по 4, надо объединить 1-й и 2-й, 8-й и 9-й интервалы. Те же интервалы объединим в столбце эмпирических частот. Получим укрупненный статистический ряд с числом интервалов 7.

Введем в ячейку Х14 формулу =(W14-V14)^2/V14:

Рис. 41. Ввод формулы.

Распространим формулу на все интервалы. Далее в ячейке Х22 просуммируем полученные результаты столбца, получим значение критерия Пирсона.

Рис. 42. Ввод функции СУММ().

Получили значение критерия согласия Пирсона, равное 6,866. Далее для определения вероятности принятия гипотезы о распределении Вейбулла воспользуемся функцией Х2ОБР(). Для ввода функции нужно найти число степеней свободы (R). Число степеней свободы определяется по формуле:

R = k – z,

где k = 7 – число интервалов укрупнённого статистического ряда;

z – число обязательных связей. Для закона распределения Вейбулла число обязательных связей равно трем: две связи – 2 параметра распределения, третья связь – условие Sр = 1,0. Таким образом, R = 4.

Выбираем уровень значимости 0,05. И в ячейку Х23 вводим функцию Х2ОБР() с аргументами: Вероятность 0,05, Степень свободы 4.

Рис. 43. Ввод функции Х2ОБР().

Получено значение χ²_кр = 9,487. Результаты расчета и укрупненный статистический ряд показаны в таблице 2.7.

Таблица 2.7. Укрупненный статистический ряд.

укрупненный статистический ряд		Расчет критерия Пирсона χ2
			теоретические частоты	эмпирические частоты
16	14				0,25
23	22		0,04347826
33	35	0,12121212
37	43	0,97297297
33	26	1,48484848
22	18	0,72727273
15	22	3,26666667
179	180	6,86645123	= χ2
9,48772904	= χкр2

Сравнение вычисленного значения 6,866 и найденного функцией – 9,487 показывает, что вычисленное значение ниже критического. Это позволяет сделать вывод о том, что распределение отказов в анализируемой выборки наработки между отказами с уровнем значимости 0,05 соответствует закону Вейбулла.

3. Анализ полученных результатов. Выводы.

Распределение наработок между отказами контактной сети переменного тока межподстанционной зоны может быть представлено законом Вейбулла с параметром формы b = 3.39 и параметром масштаба - а = 12852 при доверительной вероятности g = 0,95.

Среднее время безотказной работы – среднее значение наработки до первого отказа контактной сети с доверительной вероятностью 0,95 лежит в пределах 11571 <m(x) <11605 часов.

Литература.

Прикладная математическая статистика. Кобзарь А.И_2006 -816с.

[1]Таблицы предельных распределений статистик непараметрических критериев согласия при проверке простых и сложных гипотезhttp://fpmi.ami.nstu.ru/~headrd/seminar/nonparametric/table_B2.htm