Математическое моделирование систем и процессов (стр. 2 из 3)
Рис. 16. Ввод формулы для расчета НДГ математического ожидания.
Аналогично введем формулу для расчета ВДГ в ячейку J4. Полученные результаты расчетов представлены в таблице 2.2.
Таблица 2.2. Границы доверительного интервала
для математического ожидания.
| Доверительный интервал для математического ожидания: | Нижняя доверительная граница | Верхняя доверительная граница |
| 17,39802613 | 11570,61785 | 11605,4139 |
2.1.3. Расчет параметров закона распределения, оценка относительной погрешности.
Для расчета параметров закона распределения будем использовать ранее вычисленное значение коэффициента вариации. Параметры найдем по формулам:
,где: bэ – эмпирический параметр b, υ – коэффициент вариации. Формулу введём в ячейку N4:
Рис. 17. Ввод формулы для расчета параметра b.
Параметр а находим по формуле:
,где: аэ – эмпирический параметр а, n= 180 – объём выборки, xi – случайное число (наработка на отказ). Для этого сначала в столбце Р рассчитаем произведения xi∙bэ: в ячейку Р4 введём формулу =B4^$N$4, и распространим её на весь диапазон В4:В183.
Рис. 18. Ввод формулы.
Теперь в ячейку О4 введем расчетную формулу для параметра а: =(СУММ(P4:P183)/180)^(1/N4):
Рис. 19. Ввод формулы для расчета параметра а.
Переходим к оценке погрешностей. Сначала рассчитаем абсолютные погрешности:
аэ – а – для параметра а, и bэ – b – для параметра b.
Затем вычислим относительные погрешности по формулам:
(аэ - а)/а – для параметра а, и (bэ - b)/b – для параметра b.
Для этого в ячейки Q4, R4, S4,T4 соответственно введем формулы: =O4-M4, =L4-N4, =Q4/M4, =R4/L4.
Для ячеек S4,T4 установим формат ячейки процентный: Формат ®Формат ячеек®Число®Процентный.
Рис. 20. Ввод формулы для расчета относительной погрешности b.
Результаты расчетов в сравнении с заданными сведем в таблицу 2.3.
Таблица 2.3.
Сравнение параметров распределения с заданными, оценка погрешности
| Заданные параметры | Эмпирические параметры | Абсолютная погрешность | Относительная погрешность | ||||
| а | b | аэ | bэ | а | b | а | b |
| 3,4 | 12800 | 3,39 | 12852 | 52 | 0,01 | 0,41% | 0,29% |
2.2. Сглаживание статистических данных.
2.2.1. Расчет и построение графиков эмпирической и теоретической функции распределения.
Перейдем на ЛИСТ 3, для чего скопируем диапазон данных В4:В183 на ЛИСТ 3 в А4:А183.
На диапазоне ячеек В4:В183 расположим значения эмпирической функции распределения, а для теоретической – выделим диапазон С4:С183. Для расчета значений эмпирической функции распределения в ячейку В4 введем формулу =1/180, а в ячейку В5 - =B4+1/180, и распространим ее копированием на остальные ячейки выделенного диапазона.
Рис. 21. Ввод формулы для расчета эмпирической функции распределения.
Для расчета теоретической функции распределения воспользуемся встроенной функцией ВЕЙБУЛЛ(). Для чего в ячейке С4 вызовем Мастера функций, найдем аналогично п.2.1.2 функцию ВЕЙБУЛЛ(). В появившемся окне введем аргументы функции:
- аргумент Х – случайное число (наработка на отказ),
- аргумент Альфа – параметр b = 3.4,
- аргумент Бета – параметр а = 12800,
- последний аргумент выбираем «интегральная», так как на данном этапе мы должны получить функцию распределения Вейбулла, а не Функцию плотности распределения Вейбулла.
Рис. 22. Ввод аргументов функции ВЕЙБУЛЛ().
Распространим эту формулу на остальные ячейки выделенного диапазона автозаполнением.
Переходим к построению графиков функций. Выполним последовательность команд:
Вставка®Гистограмма®Все типы диаграмм®Точечная®Точечная с гладкими кривыми®ОК. Далее нажать «Выбрать данные», в появившемся диалоговом окне ввести:
- диапазон данных для диаграммы – диапазоны, которые мы выделили для функций распределения;
- Ряд1 ®Изменить эмпирическая;
- Ряд2® Изменить теоретическая, нажать ОК.
Рис. 23. Выбор источника данных для диаграммы.
Получим график, представленный на рисунке 24.
Рис. 24. Графики эмпирической и теоретической функций распределения.
2.2.2. Группировка статистических данных.
Сначала определим необходимое число групп (интервалов) по формуле Стерджесса:
k = 1+3,3222*lgn
k = 1+3,3222*lg180 = 8,492466316. Округляем до целого, т.е. k = 9.
Находим максимальное и минимальное значения случайной величины. Воспользуемся функциями МАКС() и МИН().
Рис. 25. Ввод функций МАКС() и МИН().
Теперь определяем шаг интервала по формуле:
h = (xmax-xmin)/k.
Рис. 26. Ввод формулы для расчета шага интервала.
Полученное значение округляем до целого: h = 2030.
Готовим таблицу для занесения группированных данных.Нижнюю и верхнюю границы каждого интервала найдем так. Нижняя граница первого интервала равна минимальному значению выборки. Добавим к ней шаг интервала и получим верхнюю границу интервала. Она же будет нижней границей второго интервала, верхнюю границу второго интервала получим так же, как и для первого. Так находим все границы. Записываем формулы в ячейки: K13, J14, K14 соответственно: =J13+2030, =K13, =J14+2030:
Рис. 27. Ввод формул для расчета границ интервалов.
Распространяем формулы с ячеек K14 и J14 на остальные ячейки автозаполнением. Получим сгруппированные данные в таблице 2.4.
Таблица 2.4.
Сгруппированные статистические данные о наработке между отказами контактной сети.
| Номер интервала | Нижняя граница | Верхняя граница |
| № | хi | хi+1 |
| 1 | 2410,763402 | 4440,763402 |
| 2 | 4440,763402 | 6470,763402 |
| 3 | 6470,763402 | 8500,763402 |
| 4 | 8500,763402 | 10530,7634 |
| 5 | 10530,7634 | 12560,7634 |
| 6 | 12560,7634 | 14590,7634 |
| 7 | 14590,7634 | 16620,7634 |
| 8 | 16620,7634 | 18650,7634 |
| 9 | 18650,7634 | 20679,58701 |
2.2.3. Расчет эмпирической плотности распределения (гистограммы), теоретической плотности распределения, построение графика.
Для нахождения эмпирической и теоретической плотностей распределения сначала рассчитаем частоты. Частота в каждой группе – это число отказов, имеющих значение меньше верхней границы, но не меньше нижней границы интервала. Исходя из этого, вводим формулы для расчета частот. На рисунке 28а и 28б показаны формулы для двух ячеек.
Рис. 28а. Ввод формулы для расчета частоты попадания СВ в первый интервал.
Рис. 28б. Ввод формулы для расчета частоты попадания СВ во второй интервал.
Аналогично вводим формулы для остальных интервалов. В сумме получим 180, значит формулы введены верно.
Определи частости по формуле:
Wi(x)=S(x)/n,
где S(x) – частоты каждого интервала. Введем формулу в ячейку М13 и распространим на остальные ячейки столбца автозаполнением (рис. 29).
Рис. 29. Ввод формулы для расчета частости.
Частость – это вероятность попадания СВ в заданный интервал, поэтому мы получили, что сумма частостей равна 1.
Найдем середины интервалов как полусумму нижней и верхней границ интервалов:
Рис. 30. Ввод формулы для определения середины интервала.
Находим эмпирическую плотность распределения по формуле:
f*= S(x)/(n*h)?
где f* - эмпирическая плотность распределения, S(x)– частота, n = 180, h = 2030 – шаг интервала.
Введем формулу в ячейку О13 и распространим на остальные ячейки столбца.