Суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LNи KM выпуклого четырехугольника ABCD равны (рис. 7).
Доказательство.
Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника. Получаем:
.Что и требовалось доказать.
2. Разбор задач.
2.1.задачи из школьного курса геометрии.
Рассмотрим задачи на бимедианы четырехугольника и теорему Вариньона, которые встречаются в школьном курсе геометрии.
Задача 1.
Докажите, что а) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, б) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
Доказательство.
а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см.следствие 1, 1, а);
Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1, 1, б).
б) диагонали ромба перпендикулярны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 1, 2, а);
Стороны ромба равны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 1, 2, б).
Задача 2.
У четырехугольника диагонали равны aи b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
Решение.
Периметр параллелограмма Вариньона равен a+b.
Задача 3.
Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
Решение.
См. теорему Вариньона.
2.2. Конкурсные задачи.
Рассмотрим задачи на бимедианы четырехугольника и теорему Вариньона, которые взяты нами с различных математических конкурсов и олимпиад.
Задача 4.
Пусть K,L,M,N– середины сторон выпуклого четырехугольника ABCD(см. рис. 8). Докажите, что
а)
, где 
– угол между бимедианами четырехугольника;б)
,где 
– угол между диагональю AC и бимедианой LN.Решение.
а) Так как ABCD- параллелограмм Вариньона, а KMи NL– бимедианы, то
, где O – точка пересечения бимедиан (см. следствие 2), 
(см. теорему Вариньона). 
Задача 5.
Докажите, что площадь параллелограмма, образованного прямыми, проходящими через вершины выпуклого четырехугольника и параллельными его диагоналям, в два раза больше площади исходного четырехугольника (рис.9).
Решение.
;Так как AMOL, MONB, CKON, DKOL - параллелограммы, то
.Отсюда получаем, что
, что и требовалось доказать.Задача 6.
Все стороны выпуклого четырехугольника площади 1 разделены на 2n равных частей, а затем точки деления на противоположных сторонах соединены так, чтобы получилась «косоугольная шахматная доска», состоящая из белых и черных «клеток» (см. рис. при n= 2). Доказать, что сумма площадей всех белых «клеток» равна сумме площадей всех черных «клеток» (рис.10).
Решение.
Из следствия 2 следует, что точки пересечения отрезков на этой доске делят каждый на равные части.
Тогда в любом «маленьком» четырехугольнике (рис.10),куда входят ровно две белые и две черные клетки, выполняются условия теоремы о бабочках. Нужное равенство установлено.
Задача 7 .
На продолжениях сторон выпуклого четырехугольника ABCDвыбраны точки
так, что 
и точка A находится между 
и B, точка B– между 
и C, точка C – между 
и D, точка D– между 
и A. докажите, что 
(рис.11).Решение.
; 
; 
; 
; 
; 
;Отсюда получаем, что
.Задача 8.
Пусть L и N – середины противоположных сторон BC и AD четырехугольника ABCD(рис. 12). Доказать, что площадь четырехугольника LPNQравна сумме площадей треугольников ABP и CQD.
Решение.
Покажем, что
.В треугольникеACDмедиана CN делит его на два треугольника равной площади, а в треугольнике ABC медиана ALделит его на два равновеликих треугольника. Так как
,то 
. аналогично устанавливается нужное равенство и для четырехугольника NBLD .Теперь утверждение задачи следует из того, что четырехугольники ALCN и NBLDпокрывают внутри четырехугольника ABCD два раза четырехугольник LPNQи не покрывают треугольники ABPиCQD, а их сумма их площадей равна площади четырехугольника ABCD. Площадь четырехугольника, с другой стороны, равна сумме площадей шести треугольников (в том числе и треугольников ABPи CQD) и интересующего нас четырехугольника LPNQ.
Задача 9.
Пусть K, L, M, N– середины сторон (рис. 13) выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что площадь четырехугольника, образованного прямыми CK, AM, BN, DL, равна сумме площадей четырех треугольников, отмеченных на рисунке 6.\
Решение.
Так как
, то из этого следует, что четырехугольники AKCMи BLDN покрывают внутри четырехугольника ABCD два раза четырехугольник, образованный прямыми CK, AM, BN, DL, и не покрывают четыре треугольника, а сумма их площадей равна площади четырехугольника ABCD. Отсюда следует, что площадь четырехугольника, образованного прямыми CK, AM, BN, DL, равна сумме площадей четырех треугольников, отмеченных на рисунке 6.Задача 10.
Противоположные стороны четырехугольника ABCDразделены на три равные части и точки деления попарно соединены (рис.14). Доказать, что одна из площадей получившихся трех четырехугольников равна
. 
Решение.
Докажем, что площадь среднего четырехугольника равна трети площади исходного четырехугольника. Другими словами докажем, что
.Чтобы в этом убедиться, достаточно проверить, что
.А последнее равенство есть следствие того, что основания AE, EF, FD всех трех треугольников в этом равенстве равны, а высота треугольника EHF является средней линией трапеции с основаниями, равными высотам треугольников AGEи FCD.