Многоугольники. Площади многоугольников в школьном курсе математики (стр. 4 из 6)

Из условия А₂ измерения площадей и теоремы 4 получаем:

.●

2.6 Площадь произвольного многоугольника

Для вычисления площади произвольного многоугольника обычно разлагают данный многоугольник на треугольники и находят площадь каждого треугольника. Сумма площадей этих треугольников равна площади данного многоугольника. Используем этот метод для решения задачи (см. Приложение 1)

Для вычисления площади произвольного многоугольника можно применять также другой метод, основанный на понятии равносоставленности двух многоугольников. Два многоугольника называются равносоставленными, если их можно разложить на одно и то же число соответственно равных многоугольников. Очевидно, два равносоставленных многоугольника равновелики, т.е. имеют равные площади. На этом свойстве основан следующий метод вычисления площади многоугольника: данный многоугольник

разлагают на конечное множество многоугольников таких, чтобы из них можно было «сложить» многоугольник ', площадь которого известна. Именно таким способом в школьном курсе геометрии находят формулу вычисления площади параллелограмма. [2]

Глава II «Изучение геометрии в 7-9 классах»

§1 Психологические особенности подросткового возраста.

Подростковый возраст — трудный период полового созревания и психологического взросления ребенка.

В самосознании подростка происходят значительные изменения: появляется чувство взрослости — ощущение себя взрослым человеком; возникает страстное желание если не быть, то хотя бы казаться и считаться взрослым.

Отстаивая свои новые права, подросток ограждает многие сферы своей жизни от контроля родителей и часто идет на конфликты с ними. Кроме стремления к независимости, подростку присуща сильная потребность в общении со сверстниками. Появляются подростковая дружба и объединение в неформальные группы. Подростки стремятся во всем походить на сверстников и пытаются выделиться в группе, хотят заслужить уважение и бравируют недостатками, требуют верности и меняют друзей.

Возникают яркие, но обычно сменяющие друг друга увлечения. Благодаря интенсивному интеллектуальному развитию появляется склонность к самоанализу; впервые становится возможным самовоспитание. У подростка складываются разнообразные образы своего «Я», однако изменчивые и подверженные внешним влияниям. [10]

Подростковый возраст традиционно считается самым трудным в воспитательном отношении. Известный отечественный педагог А.П. Краковский, сравнивая особенности поведения младших школьников и младших подростков, у которых разница в возрасте составляет всего один год, констатирует следующее: «Подростки в сравнении со своими младшими товарищами в 6 раз чаще проявляют упрямство, в 9 раз чаще бравируют своими недостатками, в 10 раз чаще противопоставляют себя родителям. В целом количество немотивированных отрицательных поступков подростков отмечается в 42 раза(!) больше, чем у младших школьников». [11]

Наибольшее количество детей с так называемой школьной дезадаптацией, т. е. не умеющих приспособиться к школе (что может проявляться в низкой успеваемости, плохой дисциплине, расстройстве взаимоотношений со взрослыми и сверстниками, появлении негативных черт в личности и поведении и т. п.), приходится на средние классы.

Так, по данным исследователей, если в младших классах школьная дезадаптация встречается в 5—8% случаев, то у подростков—в 18— 20%. В старших классах ситуация вновь несколько стабилизируется, хотя бы уже потому, что многие «трудные» дети покидают школу.

Возникают трудности во взаимоотношениях между мальчиками и девочками в школе в период полового созревания и зрелости. В одном классе учатся мальчики и девочки одного возраста, но между 11 и 15 годами девочка практически на 2 года старше мальчика того же возраста. Она опережает мальчика по развитию, она выше ростом, у нее более «взрослые» интересы. Ей хочется принимать ухаживания, а он еще маленький дикарь, который считает постыдным обращать внимание на девчонок. [12]

Границы подросткового периода значительно варьируются. Одни дети вступают в подростковый возраст раньше, другие — позже, подростковый кризис может возникнуть и в 11, и в 13 лет. Начинаясь с кризиса, весь период обычно протекает трудно и для ребенка, и для близких ему взрослых. Поэтому подростковый возраст иногда называют затянувшимся кризисом.

Учитывая все вышеизложенные особенности, проанализируем изучение темы «Многоугольники. Площади многоугольников» в учебниках геометрии под редакцией авторов Атанасяна и Погорелова с целью выявления наиболее оптимальной методики формирования знаний, умений и навыков по данной теме, необходимых для успешного обучения в ВУЗах.

§2 Сравнительный анализ учебных пособий

Учебное пособие под редакцией Л.С. Атанасяна	Учебное пособие под редакцией А.В. Погорелова
8	Класс
На изучение темы «Четырехугольники» отводится 14 часов. Вводятся понятия многоугольника (это фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек), параллелограмма, трапеции, прямоугольника, ромба, квадрата и их свойств. Ряд теоретических положений формулируется и доказывается в ходе решения задач. Понятие многоугольника вводится на основе наглядного представления. [3]	На изучение темы отводится 20 часов. Вводятся понятия параллелограмма, трапеции, прямоугольника, ромба, квадрата и их свойств.
Основная цель – дать учащимся систематические сведения о четырехугольниках и их свойствах.
На изучение темы «Площади фигур» отводится 14 часов. В данной теме изучаются следующие понятия: 1. Площадь многоугольника. Это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Так же рассматриваются свойства площадей: а) равные многоугольники имеют равные площади б) если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников в) площадь квадрата равна квадрату его стороны 2. Площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. S=a∙b Доказательство. Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a+b. По свойству площадь квадрата равна (а+b)2. с другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника c площадью S, из равного ему c площадью S и двух квадратов c площадями а2 и b2. По свойству имеем, (а+b)2=S+S+а2+b2, или а2+2 ab+b2=2S+ а2+b2. отсюда получаем: S=ab. 3. Площадь параллелограмма. Площадь параллелограмма равна произведению его основания a на высоту h. 4. Площадь треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения основания а на высоту h. 5. Площадь трапеции. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований a и b на высоту h. Основная цель – сформировать у учащихся понятие площади многоугольника, развить умение вычислять площади фигур, применяя изученные свойства и формулы. [4]	В данном учебном пособии эта тема в 8 классе не изучается.
9	Класс
В данном учебном пособии к 9 классу эта тема уже полностью изучена.	В данном учебном пособии темы «Многоугольники» и «Площади фигур» изучаются в разных параграфах. На изучение темы «Многоугольники» отводится 12 часов. Определение вводится на основе термина «ломанная». Многоугольник – это простая замкнутая ломаная. Данная тема, помимо изучения многоугольников и их свойств, включает в себя ряд параграфов, не относящихся к теме «Многоугольники». На изучение темы «Площади фигур» отводится 12 часов. Изучаемые понятия: 1. Площадь многоугольника. Это положительная величина, численное значение которой обладает свойствами (они указаны ранее в рассмотрении учебника под ред. Атанасяна) 2. Площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника со сторонами a и b вычисляется по формуле Доказательство. ○Для этого сначала докажем, что площади двух прямоугольников с равными основаниями относятся как их высоты. Пусть ABCD и AB1C1D – два прямоугольника с общим основанием AD (см. Приложение 2а). Пусть S и S1 – их площади. Докажем, что . Разобьем сторону AB прямоугольника на большое число n равных частей, каждая из них равна . Пусть m – число точек деления, которые лежат на стороне AB1. Тогда . Отсюда, разделив на AB, получим: . (1) Проведем через точки деления прямые, параллельные основанию AD. Они разобьют прямоугольник ABCD на n равных прямоугольников. Каждый из них имеет площадь . Прямоугольник AB1C1D содержит первые m прямоугольников, считая снизу, и содержаться в m+1 прямоугольниках. Поэтому . Отсюда . (2) Из неравенств (1) и (2) мы видим, что оба числа и заключены между и . Поэтому они отличаются не более чем на . А так как n можно взять сколь угодно большим числом, то это может быть только при .● Возьмем теперь квадрат, являющийся единицей площади, прямоугольник со сторонами 1, а и прямоугольник со сторонами a, b (см. Приложение 2б). Сравнивая их площади, по доказанному будем иметь: и . Перемножая эти неравенства почленно, получим: 3. Площадь параллелограмма. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны а на высоту h, проведенную к этой стороне. 4. Площадь треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны а на проведенную к ней высоту h. 5. Площадь трапеции. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований a и b на высоту h: [5] Основная цель аналогична той, которая ставится в учебном пособии под редакцией Атанасяна.
Доказательства теорем в обоих учебных пособиях приводятся в готовом виде. В задачи доказательства теорем ни в одном из пособий не введены.

Итак, совершенно ясно, что данные учебные пособия имеют значительные различия. В учебном пособии под редакцией А.В. Погорелова на изучение в 8 классе темы «Четырехугольники» отводится 20 часов, и понятие многоугольника не рассматривается. В учебном же пособии Л.С. Атанасяна на изучение в 8 классе этой темы отводится всего 14 часов, причем понятие многоугольников изучается в этом параграфе.