Многоугольники. Площади многоугольников в школьном курсе математики (стр. 2 из 6)

Замкнутая ломаная называется простым многоугольником, если её смежные звенья не лежат на одной прямой, а несмежные звенья не имеют общих точек. Вершины и стороны ломаной называют вершинами и сторонами многоугольника. Сумма сторон многоугольника называется его периметром. Многоугольник, имеющий n вершин, а значит и n сторон, называется n-угольником. В частности, при n=3 получаем треугольник, при n =4 получаем четырёхугольник.

На рисунке 2а изображён простой шестиугольник. Замкнутая ломаная А₁А₂...А₅, изображенная на рисунке 2б, не является простым многоугольником, так как несмежные звенья А₂А₃ и А₄А₅ пересекаются.

Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседние. Отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины, называют диагональю многоугольника. Из каждой вершины n-угольника при n >3 выходят n-3 диагонали, поэтому общее число диагоналей n-угольника равно

n(n-3). Так четырехугольник имеет две диагонали, пятиугольник – пять, шестиугольник – девять и т.д.

Многоугольник разбивает множество всех точек плоскости, не принадлежащих многоугольнику, на два множества, одно из которых называется внутренней, а другое внешней областью многоугольника. Точки внутренней области многоугольника называются внутренними точками многоугольника. На ниже данных рисунках внутренняя область многоугольника заштрихована.

Многоугольник называется выпуклым, если каждая прямая, проходящая через две соседние вершины, является границей полуплоскости, в которой лежат остальные вершины многоугольника. На рисунке 3а изображен невыпуклый многоугольник, а на рисунке 3б – выпуклый.

Фигура, являющаяся объединением многоугольника F и его внутренней области, также называется многоугольником. Ее будем обозначать через F.

Будем говорить, что многоугольник F разложен на многоугольники F₁,F₂,…,F_k, если никакие из многоугольников F₁,F₂,…,F_k не имеют общих внутренних точек. И тогда F= F₁

F₂

…

F_k. На рисунке 3б многоугольник F разложен на треугольники F₁, F₂, F₃, F₄, F₅. [1]

Введем понятие площади многоугольника. Пусть дан многоугольник

и две точки М₁ и М₂, принадлежащие F. Допустим, что точка М₁ лежит на стороне А₁А₂, а М₂ – на стороне А_mA_m+1, где 2≤m≤n (здесь предполагается, что при m=n точка A_m+1 совпадет с точкой A₁). Рассмотрим простую ломанную L=M₁N₁N₂…N_kM₂ с концами М₁ и М₂, все точки которой, кроме М₁ и М₂ являются внутренними точками многоугольника . Можно доказать, что ломанная L разлагает многоугольник на два многоугольника и (рис. 4)

Сформулируем задачу измерения площадей многоугольников.

Введем на плоскости измерение отрезков, задав некоторый единичный отрезок EF.

Пусть каждому многоугольнику соответствует определенное действительное положительное число так, что:

А₁. Равным многоугольникам соответствует одно и то же число.

А₂. Если простая ломанная L разлагает многоугольник

на два многоугольника F₁ и F₂, и многоугольникам F, F₁ и F₂ соответствуют числа a,b,c, то a=b+c.

A₃. Квадрату

₀, построенному на единичном отрезке EF как на стороне, соответствует число, равное единице. Число, указанным образом соответствующее каждому простому многоугольнику , называется площадью многоугольника или F и обозначается так: S( ) или S(F). Квадрат ₀ называется единичным квадратом. Имеет место следующая теорема. Ее мы принимаем без доказательства.

Теорема 1. Если выбран единичный отрезок EF, то существует одно и только одно соответствие между множеством многоугольников и множеством действительных положительных чисел, для которого выполняется условия А_1, А_2, A₃ площадей. [1]

§2 Вывод формул для вычисления площадей треугольников и

четырехугольников.

Самыми распространенными видами многоугольников являются треугольник, параллелограмм, прямоугольник, квадрат и трапеция. Для выведения их площадей будем использовать две леммы:

Лемма 1. Каковы бы ни были положительные числа a и b, существует прямоугольник, смежные стороны которого соответственно равны a и b.

Лемма 2. Если через точку, лежащую на стороне прямоугольника, проведена прямая, перпендикулярная к этой стороне, то эта прямая пересекает противоположную сторону прямоугольника и разлагает прямоугольник на два прямоугольника.

2.1 Площадь квадрата

Пусть стороны AB и AD квадрата

точками Р₁, Р₂,…,Р_n-1 и Q₁, Q₂,…, Q_n-1 разделены на n равных частей. Проведем через точки Р₁, Р₂,…,Р_n-1 прямые, перпендикулярные к прямой AB, тогда, согласно лемме 2, данный квадрат разлагается на n прямоугольников. (рис. 5а).

Далее проведем через точки Q₁, Q₂,…, Q_n-1 прямые, перпендикулярные к прямой AD. Тогда каждый из этих прямоугольников разлагается на n квадратов. В результате квадрат

разлагается на n² равных друг другу квадратов. (рис. 5б). Если площадь каждого из этих квадратов равна s, а пло щадь квадрата равна S, то согласно условию А₂ имеем:

Отсюда, в частности, следует, что если сторона квадрата равна n, где n – натуральное число, n>1, то квадраты, на которые разлагается этот квадрат, построены на единичном отрезке, поэтому s=1 и, следовательно,

Теорема 2. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

○ Пусть S – площадь данного квадрата , и a – длина его стороны. Докажем, что

Рассмотрим сначала случай, когда а – рациональное число, т.е.

, где p и q – натуральные числа. Если q = 1, то утверждение теоремы непосредственно следует из формулы ⁽***⁾, поэтому предположим, что q > 1. Рассмотрим квадрат 1, сторона которого равна p, и разобьем его на q² равных друг другу квадратов так, как было показано выше. Так как p = аq, то сторона каждого из этих маленьких квадратов равна а, поэтому эти квадраты равны квадрату . Следовательно, их площадь равна S. По формуле ⁽**⁾ S=р², а по формуле ⁽*⁾

S( ₁) = p² = q²s. Отсюда следует, что

Рассмотрим теперь случай, когда а – иррациональное число. Допустим, что формула ⁽***⁾ неверна, т.е. S≠ a² и, следовательно,

.