Нас заинтересовали причины столь быстрой сходимости алгоритма Гаусса–Брента–Саламина. Исследуя их, мы разработали общую методику построения аналогичных алгоритмов, быстро сходящихся к π, a также к некоторым другим величинам. Основываясь на теории, в общих чертах описанной в 1829 г. немецким математиком Карлом Густавом Якобом Якоби, мы поняли, что в принципе значения π можно вычислять при помощи одного класса интегралов, называемых эллиптическими интегралами – они позволяют находить периметр эллипса.
Эллиптические интегралы обычно не берутся, но могут быть легко аппроксимированы при помощи итерационных процедур, опирающихся на модулярные уравнения. Мы обнаружили, что алгоритм Гаусса–Брента–Саламина представляет собой частный случай нашего более общего метода, связанный с модулярным уравнением второго порядка. Используя модулярные уравнения более высоких порядков, можно добиться более быстрой сходимости к значению интеграла, а значит, и получить лучший алгоритм для вычисления π. Поэтому мы тоже построили различные алгоритмы на основе модулярных уравнений третьего, четвёртого и более высоких порядков.
В январе 1986 г. Дэвид X. Бейли из Исследовательского центра Национального управлении но аэронавтике и исследованию космического пространства, пользуясь одним из наших алгоритмов, после 12 итераций на суперкомпьютере Cray-2 получил 29 360 000 десятичных знаков π. Основанный на модулярном уравнении 4-го порядка этот алгоритм более чем вчетверо увеличивает количество знаков после каждой итерации. Год спустя Я. Канада и его сотрудники выполнили ещё одну итерацию на суперкомпьютере NEC SX-2 и получили 134 217 000 знаков, проверив тем самым свой более ранний такой же результат, полученный с помощью алгоритма Гаусса–Брента–Саламина. Ещё две итерации нашего алгоритма – дело нехитрое, если бы удалось как-нибудь на несколько недель заполучить суперкомпьютер в монопольное пользование, – дали бы более двух миллиардов знаков π.
ПОЛУЧАЕМ число правильных десятичных знаков π: · для 1/a1 – 0; · для 1/a2 – 3; · для 1/a3 – 8; · для 1/a4 – 19. | | (b) | ПОЛАГАЕМ y0 = Ö2 – 1, a0 = 6 – 4Ö2 и | ПОЛУЧАЕМ число правильных десятичных знаков π: · для 1/a1 – 8; · для 1/a2 – 41; · для 1/a3 – 171; · для 1/a4 – 694. |
| (c) | ПОЛАГАЕМ s0 = 5Ö5 – 10, a0 = 1/2 и | ПОЛУЧАЕМ число правильных десятичных знаков π: · для 1/a1 – 5; · для 1/a2 – 31; · для 1/a3 – 166; · для 1/a4 – 848. |
| Итерационные алгоритмы, разработанные авторами, позволяют вычислять π с невероятной точностью. Алгоритм (a) квадратично сходится к 1/π: число правильных цифр, определяемых величиной an увеличивается более чем вдвое всякий раз, когда n увеличивается на 1. Алгоритм (b) при каждой итерации увеличивает количество правильных цифр более чем вчетверо, а алгоритм (c) – более чем впятеро. Алгоритм (b), возможно, самый эффективный из всех известных алгоритмов вычисления π: три последних рекордных вычисления выполнены на суперкомпьютерах с помощью именно этого алгоритма. Когда авторы работали над своими алгоритмами, им стало ясно что Рамануджан при построении своих приближений к π следовал аналогичным методам. Так, вычисление sn в алгоритме (c) основано на замечательном модулярном уравнении пятого порядка, открытом Рамануджаном. |
| |
| Число известных знаков π за последние 10 лет выросло на два порядка благодаря разработке итерационных алгоритмов и их реализации на суперкомпьютерах, снабжённых новыми эффективными методами умножения. |
Итерационные методы лучше всего приспособлены для вычисления π именно с помощью компьютера, поэтому не удивительно, что Рамануджан никогда не пытался им следовать. Однако главные составляющие итерационных алгоритмов для π, и в частности модулярные уравнения, следовало искать в работах Рамануджана. Оригинальный путь, которым он шёл к бесконечным рядам и приближённым формулам для π более чем три четверти века назад, в чём-то наверняка совпадал с нашими собственными усилиями вывести алгоритмы для вычисления π. И действительно, формулы, приведенные в его статье, посвященной π, и в «Тетрадях», во многом помогли нам при построении некоторых алгоритмов. Например, хотя мы могли доказать существование алгоритма 11-го порядка и знали его общую формулировку, только натолкнувшись на модулярные уравнения этого порядка у Рамануджана, мы сумели открыть неожиданно простую форму этого алгоритма.
С другой стороны, из полученных нами общих формул удалось вывести все ряды Рамануджана для π. При выводе одного из них, который сходился к π быстрее любого другого известного нам в то время ряда, небольшая помощь пришла с неожиданной стороны. Мы проверили все величины, входящие в выражение этого ряда, кроме одной – коэффициента 1103 в числителе (см. вкладку [2]), поскольку были уверены, как, должно быть, и сам Рамануджан, что это правильное число. Для доказательства требовалось либо упростить некое устрашающего вида уравнение, в котором переменные возводились в степени с показателями, равными нескольким тысячам, либо погрузиться в малодоступные глубины теории чисел.
По счастливому совпадению Р. Уильям Госпер-младший из фирмы Symbolics, Inc., в 1985 г. решил провести испытание именно этого ряда Рамануджана на точность приближения к значению π. Он довёл вычисления более чем до 17 млн. знаков (в то время это было рекордом), однако само по себе это не могло служить доказательством, что сумма ряда действительно равна π. Конечно, Госпер знал, что миллионы знаков полученного им числа совпадают с найденными ранее Я. Канадой при помощи алгоритма Гаусса–Брента–Саламина, и понимал, что вероятность ошибки Рамануджана ничтожно мала.
Но как только Госпер закончил свои вычисления и сверил их с результатом Канады, мы получили всё, что требовалось для обоснования числа 1103, а именно что ряд дает верное значение с точностью до 10–10 000 000. Этот результат на основании примерно тех же соображений, из которых следует, что два целых числа с разностью меньше 1 обязательно совпадают, позволяет точно установить, что упомянутый коэффициент равен 1103. Таким образом, проведённое Госпером вычисление стало частью нашего доказательства. Нам было известно, что этот ряд (и соответствующий алгоритм) столь чувствителен к малейшим неточностям, что если бы Госпер взял какой-нибудь другой коэффициент, а компьютер в процессе вычисления допустил ошибку хотя бы в одной цифре, то получилось бы не значение π, а бессмысленный набор цифр.
Можно показать, что алгоритмы рамануджановского типа очень близки к наилучшим возможным. Если собрать все операции, которые производятся при выполнении подобных алгоритмов (с применением наилучших известных методов сложения, вычитания и умножения), то окажется, что бит-сложность вычисления n знаков π ненамного больше бит-сложности перемножения двух n-значных чисел, а последняя, когда умножение выполняется с применением быстрых преобразований Фурье, ненамного превосходит бит-сложность сложения двух n-значных чисел – простейшей возможной арифметической операции, выполняемой при помощи компьютера.
Математика, по-видимому, ещё не ощутила в полной мере влияния гениальных открытий Рамануджана. В его «Тетрадях» содержится множество других удивительных формул с интегралами, бесконечными рядами и цепными дробями. К сожалению, они приводятся почти без всяких указаний на метод, которым Рамануджан их доказывал. Литлвуд писал: «Если какой-то значительный кусок рассуждений уже встречался где-то в другом месте и общая совокупность фактов и интуитивных соображений давала ему уверенность, он не искал ничего больше».
Титанический труд по редактированию «Тетрадей», начатый 60 лет назад английскими аналитиками Дж. Н. Ватсоном и Б. Н. Уилсоном и завершаемый ныне Брюсом Берндтом, требует поисков доказательств, источников, а иногда небольших исправлений каждого из многих тысяч содержащихся в них утверждений и тождеств. Одна строчка в «Тетрадях» легко может вызвать многие страницы комментариев. Задача дополнительно затруднена нестандартными математическими обозначениями, в которых записаны формулы. Поэтому большая часть работы Рамануджана останется недоступной математическим кругам до тех пор, пока Берндт не закончит свой труд.
Уникальная способность Рамануджана оперировать чисто интуитивно сложнейшими формулами позволила ему посеять семена в математическом саду (метафора, заимствованная у Фримена Дайсона), который только сейчас вступает в пору цветения. Как и многим другим математикам, нам не терпится увидеть, какие из семян в ближайшие годы взойдут и сделают сад ещё прекраснее.
Список литературы
1. S. Ramanujan. Modular equations and approximations to π. In: The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 1914, v. 45, pp. 350–372.
2. E. Salamin. Computation of π using arithmetic-geometric mean. In: Mathematics of Computation, 1976, v. 30, No. 135, pp. 565–570.
3. P. Beckmann. A history of π. The Golem Press, 1977.
4. J. M. Borwein, P. B. Borwein. Pi and the AGM: A study in analytic number theory and computational complexity. John Wiley & Sons, Inc., 1986.
5. С. Г. Гиндикин. Загадка Рамануджана. Квант, 1987, № 10, с. 14.