Побудова квадратичної емпіричної залежності. Нехай функціональна залежність між

та

- квадратична. Шукатимемо емпіричну формулу у вигляді

. (8)
Тоді формулу (2) запишемо наступним чином

Для знаходження коефіцієнтів

,

,

, за яких функція

мінімальна, обчислимо частинні похідні

,

,

і прирівняємо їх до нуля. В результаті дістанемо систему рівнянь

Після рівносильних перетворень маємо систему

(9)
Розв’язок цієї системи і визначає єдину параболу, яка краще від усіх інших парабол (8) подає на розглядуваному проміжку задану таблично функціональну залежність.
Сформулюємо аналітичний критерій для квадратичної залежності. Для цього введемо поділені різниці першого і другого порядку

і

, де

.
Точки

розміщені на параболі (8) тоді і тільки тоді, коли всі поділені різниці другого порядку зберігають сталі значення.
Якщо точки

рівновіддалені, тобто

, то для існування квадратичної залежності (8) необхідно і достатньо, щоб була сталою скінчена різниця другого порядку

, причому

.
Побудова емпіричних формул найпростіших нелінійних залежностей. Нехай у системі координат

маємо нелінійну залежність

, неперервну і монотонну на відрізку

.
Введемо змінні

,

так, щоб у новій системі координат

задана емпірична нелінійна залежність стала лінійною

. (10)
Тоді точки з координатами

в площині

лежатимуть на прямій лінії.
Покажемо, як від нелінійних залежностей

, 2)

, 3)

,

, 5)

, 6)

перейти до лінійних.
1) Розглянемо степеневу залежність

, де

,

,

.
Логарифмуючи її, знаходимо

. Звідси, поклавши

,

,

,

, маємо

.
2) Логарифмуючи показникову залежність

, маємо

. Поклавши

,

,

,

в системі координат

дістанемо залежність (10).
Зазначимо, що замість показникової залежності

часто шукають залежність

. Остання перетвориться в лінійну, якщо позначити

,

,

,

.
3) Щоб перейти від логарифмічної залежності

до лінійної

, досить зробити підстановку

,

.
4) У гіперболічній залежності замінимо змінні

,

. Тоді гіперболічна залежність перетвориться в лінійну (10), в якій

,

.
5) Розглянемо дробово-лінійну функцію

. Знайдемо обернену функцію

. Тоді ввівши нові координати

,

, дістанемо лінійну залежність (10), де

,

.
6) Нехай маємо дробово-раціональну залежність

. Оберненою до неї буде залежність

. Ввівши нові змінні

,

, дістанемо лінійну залежність (10) з коефіцієнтами

,

.
Отже, для побудови будь-якої з емпіричних формул 1)-6) треба:
а) за вихідною таблицею даних

побудувати нову таблицю

, використавши відповідні формули переходу до нових координат;
б) за новою таблицею даних знайти методом найменших квадратів коефіцієнти

і

лінійної функції (10);