Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией (стр. 1 из 3)

Министерство образования Российской Федерации

Башкирский государственный педагогический университет

Кафедра математического анализа

Дипломная квалификационная работа

Автор: Гарипов Ильгиз.

Тема: Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией.

К защите допущен ____________

Заведующий кафедрой к.ф. м. н. доцент Сафаров Т.Г.
Руководитель д.физ-мат. наук. профессор Султанаев Я.Т.

Уфа 2001

Содержание

Стр.

Введение 3

§ 1 Свойства функции

. 4

§ 2 Свойства функции

и ее производных. 5

2.1

5

2.2

6

2.3

где a>0 7

2.4

9

§ 3 Поведение

11

3.1

11

3.2

11

3.3

12

3.4

13

§ 4 Поведение

14

4.1

14

4.2

15

4.3

15

4.4

16

Заключение 17

Литература 18

Введение

Пусть

произвольная функция, определенная на , и при

Введем в рассмотрение функцию

с помощью следующего равенства:

(1)

Назовем эту функцию усреднением функции

Это название оправдано так как из (1) и теоремы о среднем для интегралов можем заключить

§ 2 Свойства функции

.

1. Если

, при , то при
Доказательство:
, , " N >0, :

2.

(2)

3.

(3)

Дифференцируя формулу (1) по dx получаем

(4)

(5)

§ 2 Свойства функции

и ее производных.

I) Рассмотрим вид функции

для случаев когда

:

2.1

2.2

2.3

где a>0;

Разделим интеграл на два интеграла и вычислим их отдельно.

Второй интеграл не оказывает влияния на первый, так как при

функция стремится к 0.

Доказательство:

Рассматривая второй интеграл, мы получаем:

Рассматривая первый интеграл, получаем:

Последние два слагаемых полученных при интегрировании содержат в произведении

, то есть при возрастании x эти слагаемые будут очень быстро уменьшатся и весь интеграл при становится очень малым по сравнению с первой частью. Поэтому можно считать что при

Следовательно:

2.4.

Наложить на

ограничение, такое чтобы присутствие не влияло на поведение функции.

Рассматривая полученное выражение можно заметить что

становится пренебрежительно малым по отношению к остальной части

как только

. Ограничение №1

В тоже время

Становится бесконечно малым как только

. Ограничение №2

Раскрывая в оставшейся части скобки, по Биному Ньютона получаем, что

должен быть очень малым при

то есть

так как

ограниченная функция, к 0 должен стремится .