Векторная алгебра 2 (стр. 1 из 7)

ГЛАВА 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

§1. Основные определения.

При изучении различных физических процессов и явлений нам приходится иметь дело с объектами разной природы. Некоторые величины в физике, механике и технике полностью описываются заданием их числовых значений. Такими величинами, например, являются длина, объём тела, его масса, температура, электрический заряд и другие.

Эти величины называются скалярными или просто скалярами.

Однако, чтобы задать такие величины как скорость, ускорение, силу, напряженность магнитного поля и так далее, необходимо указать не только численное значение этой величины, но и её направление в пространстве.

Определение 1.

Величина, для которой указаны ее численное значение и направление, называется векторной или вектором.

Векторы изображаются направленными прямолинейными отрезками и обозначаются

или , где точки и – начало и конец вектора соответственно. Так фиксируется его направление.

Численное значение векторной величины называется длиной или модулем вектора и обозначается

или (длина отрезка).

Если

, то – нулевой вектор; направление нулевого вектора

не определено, т. е. его можно считать произвольным.

Определение 2.

Если задан ненулевой вектор

, то единичный вектор того же направления называется ортом вектора .

Определение 3.

Два вектора

и называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой. Это обычно обозначают так . Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Определение 4.

Три вектора называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. Нулевой вектор считается компланарным любой системе компланарных между собой векторов.

Определение 5.

Два вектора равны, т.е.

, если выполнены три условия:

1. модули их равны

= ;

2. они параллельны друг другу

;

3. вектора

и одинаково направлены.

Из определения равенства векторов следует, что параллельное перемещение не меняет вектора. Этим свойством можно пользоваться, чтобы приводить векторы к общему началу, т. е. откладывать их из одной точки. Такие вектора называют свободными.

§2. Линейные операции над векторами.

Операции сложения, вычитания векторов и умножения вектора на скаляр называются линейными.

Сложение и вычитание векторов.

Сумму двух векторов

и можно найти по правилу параллелограмма.

Для этого надо привести их к общему началу и построить на этих векторах параллелограмм как на сторонах. Тогда диагональ параллелограмма, исходящая из общего начала векторов и и будет их суммой (рис.1).

.

Вычитание векторов можно выполнять

как сложение вектора

и , т.е. .

Тогда вторая диагональ параллелограмма, исходящая из конца вектора

даст нам вектор , представляющий собой разность векторов и : .

Так как противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, то, учитывая определение равенства двух векторов, сумму векторов

и можно представить как третий вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора .

Такой способ построения суммы векторов называют правилом треугольника.

Для этого начало вектора

надо совместить с концом вектора , а затем соединить начало вектора с концом вектора .

Тогда, как видно из рис.1, получим вектор

.

Для нахождения разности векторов приведём

их к общему началу. Соединив их концы, построим треугольник. Тогда имеем

.

Отсюда легко можно получить правило для нахождения суммы большего числа векторов.

Сумму нескольких векторов можно найти по правилу многоугольника: чтобы найти вектор, представляющий собой сумму заданных векторов, нужно последовательно совместить начало следующего вектора-слагаемого с концом предыдущего, тогда вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом последнего, будет суммой заданных векторов.

Например, вектор

есть сумма заданных векторов и :

.

Свойства сложения векторов:

1)

– переместительное св-во (коммутативность);

2)

– сочетательное св-во (ассоциативность). Оба свойства операции сложения векторов следуют непосредственно из определения операции.

Для любых двух векторов

и справедливо неравенство треугольника: (если векторы и неколлинеарны, то сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны). Очевидно, что это неравенство выполняется и для любого числа векторов, т.е. .

Умножение вектора на скаляр.

Пусть

– ненулевой вектор, – скаляр.

Произведением вектора

на скаляр называется вектор , обладающий следующими свойствами: