Векторная алгебра 2 (стр. 6 из 7)

Таким образом,

.

Условие ортогональности векторов в координатной форме:

.

Замечание.

Выясним механический смысл скалярного произведения.

Пусть под действием постоянной силы

точка перемещается по прямой из положения в положение . Сила образует с прямой угол . Работа силы на этом перемещении равна

.

Если ввести вектор перемещения

, то выражение для работы можно переписать в виде

.

Следовательно, работа силы

равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

§7. Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора

на вектор называется вектор , который определяется следующим образом:

а)

,

т.е.

численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах как на сторонах;

б)

и , т.е. он перпендикулярен плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы;

в)

, , образуют правую тройку векторов, то есть, если из конца вектора ( ) кратчайший поворот от вектора ( ) к вектору ( ) виден происходящим против хода часовой стрелки.

Векторное произведение векторов

и обозначается или .

Рис. 6.

Свойства векторного умножения векторов

1.

.

Т.к.

,

причем векторы

и коллинеарны, но направлены противоположно.

2.

, если или или .

Действительно, если оба вектора ненулевые, то при

.

В частности

для любого вектора .

Таким образом, для коллинеарности двух ненулевых векторов необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было бы равно нулю.

3. Ассоциативность (или сочетательность) относительно скалярного множителя: если

– скаляр, то справедливо равенство

.

Действительно.

.

Пары векторов

и лежат в одной плоскости, . Также легко можно убедиться в справедливости и второй части равенства.

4. Дистрибутивность относительно сложения векторов:

.

5. Векторные произведения координатных ортов.

, , ;

,

где

– координатные орты;

6. Найдем теперь координаты векторного произведения векторов в декартовом базисе

.

Пусть

и .

Используя уже рассмотренные свойства, получим

Итак, если

и , то

.

§8. Смешанное произведение трех векторов.

Если взять вектор

и умножить его векторно на вектор , а затем полученный вектор скалярно умножить на третий вектор , то получим векторно-скалярное или смешанное произведение трёх векторов.

Определение.

Смешанным произведением трех векторов

, и называется скалярное произведение вектора на вектор . Смешанное произведение векторов обозначается так .

Свойства смешанного произведения.

1.

, тогда и только тогда, когда векторы компланарны.

2. Выясним геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение некомпланарных отличных от нуля векторов

по абсолютной величине равно объему параллелепипеда, построенного на векторах .