Векторная алгебра 2 (стр. 4 из 7)
1). Пусть
, тогда по формуле 
.2)пусть
, тогда по формуле 
что и требовалось доказать.
Следствие.
Проекция разности двух векторов на ось
равна разности проекций этих векторов на ту же ось.Произведение проекции вектора
на ось на единичный вектор этой оси (его называют ортом) называется составляющей вектора по оси 
.§5. Координаты вектора в декартовом базисе
Определение 1.
Три некомпланарных вектора
, 
, 
называются правой тройкой векторов, если из конца третьего вектора ( ) кратчайший поворот от первого вектора ( 
) ко второму вектору ( 
) виден происходящим в положительном направлении (против часовой стрелки) и левой тройкой в противном случае.Мы уже говорили, что ортом ненулевого вектора
называется единичный вектор 
, направленный одинаково с вектором .Выберем в пространстве произвольную точку
и проведём через неё три взаимно перпендикулярные оси. Перенумеруем их. Ось с выбранным на ней началом отсчёта и единицей длины называется координатной осью.Упорядоченная система (т.е. перенумерованная система) трёх взаимно перпендикулярных координатных осей с общим началом отсчёта и общей единицей длины называется прямоугольной системой координат в пространстве (её называют также декартовой системой координат или ортогональной системой координат).
В этой системе координат первую ось будем называть осью абсцисс (или осью
), вторую – осью ординат (или осью 
), третью – осью аппликат (или осью 
).Плоскости, содержащие любые две координатные оси будем называть координатными плоскостями:
плоскостью
или 
, если она содержит оси 
и ,плоскостью
или 
, если она содержит оси и ,плоскостью
или 
, если она содержит оси и .Эти плоскости будут перпендикулярны координатным осям
, и соответственно.Введём единичные векторы
, направления которых совпадают с положительным направлением соответственно осей , , , т.е. 
, 
, 
.Векторы
в дальнейшем будем называть ортами осей прямоугольной или декартовой системы координат.Различают правую и левую координатные системы. В дальнейшем будем использовать правую систему координат.
Векторы
некомпланарны и, следовательно, образуют базис трёхмерного пространства. Эти векторы взаимно перпендикулярны и модули их равны единице 
.Такая система базисных векторов называется ортогональной и нормированной.
Иногда говорят, что правая тройка взаимно ортогональных ортов
образует декартов базис.Рассмотрим произвольный вектор
и найдем проекции этого вектора на оси координат. Эти проекции будем называть координатами вектора в декартовом базисе 
.Поместим начало вектора
в точку O. Тогда 
.Проведем через конец вектора OM плоскости, параллельные координатным плоскостям. Они отсекут на координатных осях отрезки, которые представляют собой проекции вектора OM на соответствующие координатные оси. В результате такого построения получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор
.По правилу сложения векторов
,но
, 
.Следовательно,
 |
. Рис.4
В правой части стоят составляющие вектора
по осям координат: 
, 
, 
,Тогда разложение вектора
по ортам декартовой системы координат запишется в виде 
.Часто используется более короткое обозначение
.Зная проекции вектора
на координатные оси, можно легко найти 
. Действительно, так как квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его сторон, то 