Векторная алгебра 2 (стр. 3 из 7)

Из построения следует и единственность такого разложения вектора по базису

. Количество базисных векторов называется размерностью векторного пространства: так плоскость называется двумерным пространством и обозначается .

Любые три некомпланарных вектора

, , в пространстве линейно независимы и образуют базис трехмерного пространства ; всякий четвертый вектор этого пространства можно единственным образом разложить по базису ( , , ), т.е. представить в виде , где a, b, g – координаты вектора в базисе ( , , ),.

Доказательство можно провести аналогично предыдущим рассуждениям.

Определение 5.

Три некомпланарных вектора

, , называются правой тройкой векторов, если из конца третьего вектора ( ) кратчайший поворот от первого вектора ( ) ко второму вектору ( ) виден происходящим

в положительном направлении (против часовой стрелки).

И, соответственно, – левой тройкой, если по часовой стрелке.

§4. Проекция вектора на ось.

Проекцией точки А на заданную ось называется точка, которая является основание перпендикуляра, опущенного из точки А на ось.

Проекцию точки на ось можно также определить как точку пересечения оси с проектирующей плоскостью, т. е. с плоскостью, проведённой через данную точку перпендикулярно оси.

Пусть в пространстве заданы два вектора

и .

Приведём их к общему началу. Углом между векторами

и называется наименьший угол, на который надо повернуть один из векторов,

чтобы его направление совпало с направлением другого вектора. Из этого определения следует, что

.

Пусть дан вектор и некоторая ось . Опустим из точек и перпендикуляры на ось и обозначим проекции этих точек на ось через и , соотвественно. Получим вспомогательный вектор .

Определение 1.

Проекцией вектора

на ось называется длина отрезка , взятая со знаком плюс, если вектор и ось одинаково направлены, и со знаком минус, если они направлены в разные стороны.

Проекцию вектора

на ось будем обозначать следующим образом: или .

Очевидно, что

, если угол между векторами и острый, и , если угол между векторами и – тупой.

Проекцию можно вычислить по формуле

,

где

– угол наклона вектора к оси .

Теорема 1.

Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

Доказательство.

Пусть

. Обозначим через проекции на ось точек A, B и C соответственно. Пусть точки имеют по оси соответственно координаты . Тогда

, и

,

что и требовалось доказать.

Эта теорема легко обобщается на случай любого числа слагаемых.

Теорема 2.

Если вектор

умножить на число , то и его проекция на ось умножится на число .

Доказательство.

Заметим, что если

, то вектор направлен в ту же сторону, что и вектор и составляет с осью тот же угол , что вектор . Если , то вектор направлен противоположно вектору и составляет с осью угол ( ).