Векторная алгебра 2 (стр. 2 из 7)

а)

, ;

б)

, т.е. они коллинеарны;

в)

сонаправлен вектору (т.е. направлен одинаково с ним), если , и направлен в противоположную сторону, если .

Замечание. Из определения следует, что

1. вектор

нулевой, если один из его сомножителей равен нулю;

2. критерий коллинеарности двух векторов:

если

, при (существует такое ).

Свойства умножения вектора на скаляр:

1. Перестановочное (или коммутативное)

2. Сочетательное (или ассоциативное):

, где - скаляры.

3. Распределительное (дистрибутивное):

, где и - скаляры;

.

Доказательства этих свойств непосредственно вытекают из определения равенства векторов и сложения векторов.

3. Линейная зависимость и независимость векторов.

Пусть даны векторы

и скаляры .

Определение 1. Вектор

называется линейной комбинацией векторов .

Определение 2.

Векторы

называются линейно независимыми, если равенство

выполняется только при условии, что

при всех

(только при нулевом наборе коэффициентов

).

Определение 3.

Векторы называются линейно зависимыми, если их линейная комбинация обращается в ноль при условии, что хоть один из скаляров

отличен от нуля.

Это значит, что среди всех наборов коэффициентов

, при которых линейная комбинация обращается в ноль, есть хоть один ненулевой.

Замечание.

Пусть

, а какой-то отличен от нуля. Например, пусть . Тогда имеем

.

Следовательно, если система векторов

линейно зависима, то, по крайней мере, один из векторов этой системы есть линейная комбинация остальных векторов.

Поэтому любые два коллинеарных вектора (

) линейно зависимы, и любые три компланарных вектора ( ) тоже линейно зависимы.

Справедливы и обратные утверждения: любые два неколлинеарных вектора на плоскости линейно независимы и любые три некомпланарных вектора в пространстве линейно независимы.

Действительно, если ненулевые векторы

и неколлинеарны, то из следует . Иначе есть ненулевой набор коэффициентов , что противоречит предположению о неколлинеарности.

Если же три ненулевых вектора

и некомпланарны (два вектора всегда компланарны), то из равенства следует, что . Иначе опять придём к противоречию:

если, например,

, то и по определению операции сложения векторов данные вектора и образуют треугольник, через который можно провести плоскость.

Определение 4.

Любая пара неколлинеарных векторов на плоскости и любая тройка векторов в пространстве называется базисом множества всех векторов, расположенных соответственно на плоскости или в пространстве.

Сами эти векторы называют базисными векторами.

Из замечания следует, что, если два компланарных вектора

и не коллинеарны, то любой третий вектор , компланарный с ними, можно представить в виде , т.е., как говорят, можно разложить по базису ( , ). Числа и в этом случае называются координатами вектора в базисе ( , ). . Разложение вектора по базису ( , ) единственно, т.е. координаты и можно найти единственным образом. Покажем это.

Действительно.Пусть заданы векторы

, причем и неколлинеарны. Если вектор коллинеарен одному из векторов, например, вектору , тогда или , где .

Если вектор

неколлинеарен ни одному из векторов и , то приведём вектора к одному началу . Продолжим прямые, на которых лежат вектора и , а затем проведем прямые, параллельные векторам и через конец вектора , достроив таким образом параллелограмм OPQR.. Вектор является диагональю параллелограмма. Тогда по правилу параллелограмма имеем , но