Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
Департамент научно-технологической политики и образования
ФГОУ ВПО «Красноярский аграрный университет»
Институт экономики и финансов АПК
Системы образующих. Циклические группы
Курсовая работа
Выполнила студентка
Группы ЭК-26
Гульбис Вероника Викторовна
Руководитель: профессор Сучков
Красноярск, 2010.
Пересечение любых двух подгрупп Н и F группы G не может быт
пустым, так как всякая подгруппа группы G содержит элемент 1. Эпи
пересечение будет в действительности подгруппой группы G: если D есть
пересечение подгрупп HnF,D=H{]F,a если элементы а и Ъ принадлежат к 5, то их произведение и обратные к ним элементы содержатся как в Н, так и в F, а поэтому также принадлежат к D.
Если дано не две, а вообще произвольное конечное или даже бес-
бесконечное множество подгрупп группы G, то произведение любых двух
элементов из пересечения всех этих подгрупп лежит в каждой из них.
а поэтому и в их пересечении. Это же верно и для обратных элементов.
Пересечение любого множества подгрупп группы G само является,
следовательно, подгруппой этой группы. Так, пересечением всех под-
подгрупп группы G будет, очевидно, единичная подгруппа Е.
Пусть М — произвольное непустое подмножество группы G. Пере-
Пересечение всех подгрупп группы G, содержащих все элементы множества
М,— одной из этих подгрупп является, конечно, сама группа G,—
называется подгруппой, порожденной множеством М, и обозначается
символом {М}. Она содержится, очевидно, во всякой подгруппе группы G,
содержащей целиком множество М.
Если подмножество-М состоит из одного элемента а, то порожденная
им подгруппа {а} называется циклической подгруппой элемента а. К под-
подгруппе {а} принадлежат, конечно, все степени элемента а; но эти степени
сами составляют подгруппу, так как произведение элементов ап и ат
равно ап+т, а обратным для элемента ап является элемент а~п (см. § 3).
Отсюда следует, что циклическая подгруппа {а} состоит из всех степеней
элемента а. Это показывает, что циклическая подгруппа {а} будет счет-
счетной, если а есть элемент бесконечного порядка, и конечной при конечном
порядке элемента а; в этом последнем случае порядок подгруппы {а}
равен порядку элемента а.
Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп,,
т. е. состоящая из степеней одного из своих элементов, называется
циклической группой. Элемент, из степеней которого составлена данная
циклическая группа, называется образующим элементом этой группы. Всякая
циклическая группа, очевидно, коммутативна.
Примером бесконечной циклической группы служит аддитивная
группа целых чисел — ее образующим элементом является число 1Г
примером конечной циклической группы порядка п —
мультипликативная группа корней м-й степени из единицы, п = 1, 2, ... Следующая теорема показывает, что этими примерами исчерпываются по существу
.все циклические группы.
Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой; изо-
изоморфны между собой также все конечные циклические группы данного
порядка п.
Действительно, бесконечная циклическая группа с образующим
элементом а взаимно однозначно отображается на аддитивную группу
целых чисел, если всякому элементу ah ставится в соответствие число k-r
изоморфизм этого отображения следует из того, что при перемножении
степеней элемента а показатели складываются. Аналогичным путем полу-
получается изоморфное отображение всякой циклической группы порядка п
на группу корней п-й степени из единицы.
Эта теорема позволяет говорить в дальнейшем* просто о бесконечной
циклической группе или о циклической группе порядка п.
Всякая подгруппа циклической группы сама циклическая.
Действительно, пусть G = {а} есть циклическая группа с образую-
образующим элементом а, бесконечная или конечная порядка п, и пусть Н будет
отличная от Е подгруппа из G. Пусть, далее, наименьшая
положительная степень элемента а, содержащаяся в Н, есть ah. Тогда {ah} ?= Н.
Допустим, что в Н содержится также элемент а1, I =? 0 и I не делится
на к. Тогда, если (к, I) = d, d > 0, есть общий наибольший делитель-
чисел к и I, то существуют такие целые числа и и v, что ки + lv = dr
и, следовательно, в Н должен содержаться элемент
(ah)u (а1 у = ad;
но так как d < к, то мы приходим в противоречие с выбором элемента ah.
Следовательно, Н = {ah}.
В бесконечной циклической группе с образующим элементом а в
качестве образующего элемента можно взять также элемент а-1;
циклическая подгруппа, порожденная любой другой степенью элемента а,
отлична от всей группы. В циклической группе {а} порядка п в качестве
образующего элемента можно взять элемент ak, 0<;A; < п, тогда и только
тогда, если кип взаимно просты. Действительно, если (к, п) = 1, то-
существуют такие и и v, что
ku-\-nv = 1.
Тогда
(ah)u = a1-nv = a-a-nv = a.
Если, с другой стороны, при некотором к будет (ak)s = а, то разность
показателей ks — 1 должна делиться на п (см. § 3):
ks— 1 =nq,
откуда ks — nq = 1, т. е. (к, п) — 1.
Если М — снова произвольное подмножество группы G, то, как
и в случае циклических подгрупп, легко указать закон, по которому
элементы подгруппы {М} изображаются через элементы множества М.
Подгруппа {М} должна содержать положительные и отрицательные-
степени всех элементов из М, а поэтому и всевозможные произведения
любого конечного числа этих степеней, взятых в произвольном порядке.
Но все элементы группы G, представимые в виде произведения конечного-
числа степеней элементов из М,— хотя бы и многими различными,
способами,— сами образуют, очевидно, подгруппу группы G, содержащую - все элементы из М. Этим доказано, что подгруппа, порожденная
множеством М, состоит из всех элементов группы, равных произведениям
конечного числа степеней элементов множества М.
Если, в частности, дано некоторое множество подгрупп группы G
и если М есть теоретико-множественная сумма этих подгрупп, т. е.
множество, состоящее из элементов группы G, входящих хотя бы в одну
из заданных подгрупп, то подгруппа {М} является минимальной под-
подгруппой группы G, содержащей все эти подгруппы. Эта подгруппа {М}
называется подгруппой, порожденной заданными подгруппами, и
обозначается символом {Аа}, a?N, если заданы подгруппы Аа, где а пробе-
пробегает некоторое множество индексов N; в частности, если заданы лишь
две подгруппы А и В, то подгруппа {М} обозначается символом {А, В},
и т. д. Из сказанного выше следует, что подгруппа, порожденная
некоторым множеством подгрупп группы G, состоит из всех элементов
группы, равных произведениям конечного числа элементов, взятых в заданных
подгруппах.
Если подгруппа {М}, порожденная в группе G некоторым ее
подмножеством М, совпадает с самой группой G, то множество М называется
системой образующих элементов или просто системой образующих этой
группы. Всякая группа обладает системами образующих — достаточно
взять множество всех элементов группы или множество всех элементов,
кроме 1. Из сказанного выше о подгруппе, порожденной некоторым
множеством, следует, что множество М тогда и только тогда будет системой
•образующих группы G, если всякий элемент из G может быть записан
хотя бы одним способом в виде произведения конечного числа степеней
элементов из М.
Пусть
•система образующих М называется неприводимой, если никакая ее истин-
истинная подсистема уже не является для G системой образующих. [См. Д.1.З.]
Примеры. 1. Всякая циклическая группа обладает системой
образующих, состоящей из одного элемента, а именно, из образующего
элемента этой группы. Обратно, всякая группа с одним образующим эле-
элементом является циклической. Заметим, что в циклической группе можно
обычно выбрать также неприводимые системы образующих, состоящие
•более чем из одного элемента. Так, систему образующих для аддитивной
группы целых чисел составляют, например, числа 2 и 3.
2. В § 4 было отмечено, что всякая подстановка п-ж степени являет-
является произведением транспозиций. Отсюда следует, что одной из систем
образующих симметрической группы и-й степени будет множество всех
транспозиций, содержащихся в этой группе. Симметрическая группа п-ш
-степени может быть порождена также двумя образующими элементами:
а = A 2), b = A 2 ... п).
Действительно,
kk —2.
Если теперь i -< / — 1, то
(/, /-1) ... (i + 2, i + l)(i, i + l)(i + l, i + 2) ... (у-1,/) = (*/),
т. е. подгруппа {а, Ь} содержит все транспозиции и поэтому совпадает
«о всей симметрической группой. 3. Числа
\ ± ± _L _L
i, 2 , 6 , 24 , • .., л, , ...
составляют систему образующих для аддитивной группы рациональных
чисел R. Легко видеть, что всякое бесконечное подмножество этого
множества также будет системой образующих для R. Больше того, можно
доказать, что аддитивная группа рациональных чисел R не имеет ни
одной неприводимой системы образующих. Действительно, пусть М есть
некоторая система образующих для R и пусть а есть произвольный эле-
элемент из М. Обозначим через Н подгруппу, порожденную множеством М',
состоящим из всех элементов множества М, кроме а; множество М' не
может быть пустым, так как иначе все рациональные числа были бы
кратными числу а, что невозможно. Если Ъ есть произвольный элемент
из М', то из свойств рациональных чисел следует существование такого
целого числа к, отличного от нуля, что число ка будет уже кратным числу
Ь, и поэтому будет содержаться в подгруппе Н. Число -г- а, принадлежащее
гС
к группе R, может быть записано в виде суммы конечного числа
рациональных чисел, кратных некоторым числам из М, т. е. может быть пред-