представлено в виде
-г- а = sa-\- h,
где s есть некоторое целое число, равное, быть может, нулю, а Л —
некоторый элемент из подгруппы Н. Отсюда
а = s (ка) -\-lch,
т. е. а содержится в Я и поэтому Н = R. Множество М' является,
следовательно, системой образующих для группы R.
4. Мультипликативная группа положительных рациональных чисел
обладает неприводимой системой образующих, состоящей из всех про-
простых чисел.
Если группа G обладает системой образующих, состоящей из
конечного числа элементов, то G называется группой с конечным числом
образующих. Таковы, очевидно, все конечные и все циклические группы.
Пример бесконечной циклической группы показывает, что из конечно-
конечности числа образующих не следует конечность самой группы.
Всякая система образующих группы с конечным числом образующих
содержит конечное подмножество, являющееся неприводимой системой
образующих этой группы.
Так как конечная система образующих всегда может быть сделана
неприводимой путем удаления лишних элементов, то нужно лишь дока-
доказать, что при наших предположениях всякая бесконечная система
образующих содержит конечное подмножество, также являющееся системой
образующих для рассматриваемой группы. Пусть G есть группа с
образующими аи а2, ¦ ¦ ., ап,
G = {at, а2, ..., ап),
и пусть М есть некоторая другая система образующих этой группы.
Всякий элемент at, i = 1, 2, . . ., га, записывается в виде произведения
степеней конечного числа элементов из М. Выбирая для каждого
щ одну из таких записей и собирая те элементы из М, которые входят в эти записи для i = 1, 2, . . ., га, мы получим конечное подмножество
М' из М, порожденная которым подгруппа {М'} содержит все элементы
at, а2, . . ., ап и поэтому совпадает с G.
Заметим, что различные неприводимые системы образующих группы
с конечным числом образующих могут содержать, вообще говоря, раз-
различное число элементов (см. пример 1).
Всякий гомоморфный образ группы с конечным числом образующие
сам является группой с конечным числом образующих. Действительно, если
G = {й1, а2, ¦ ¦ ., ап} и если гомоморфизм ф отображает группу G на
группу G, то элементы
ад, а2ф> • • •, а«Ф A)
составляют для G систему образующих. В самом деле, если а —
произвольный элемент из группы G и а — один из его прообразов в группе G,
то а так же записывается через степени элементов A), как а — через
степени элементов ац, а2, • ¦ •, ап. Некоторые из элементов A) могут,
конечно, совпадать, т. е. мы получим для группы G систему образующих
с повторениями. Эти повторения можно было бы исключить. Мы
условимся, однако, и в будущем допускать к рассмотрению системы образую-
образующих с повторяющимися элементами.
Всякая бесконечная группа с конечным числом образующих являет-
является счетной.
Действительно, если элементы а4, а2, . . ., ап являются образую-
образующими для группы G, то всякий элемент этой группы может быть записав
в виде произведения
а, а, а
а,1а,г ... а,*
(вообще говоря, многими различными способами); всякое i^ есть одно-
из чисел 1, 2, . . ., п, причем возможно, что ik = i; при кф1. Будем
называть длиной этого произведения сумму абсолютных величин пока-
показателей:
Легко видеть, что существует лишь конечное число произведений степе-
степеней образующих элементов а±, а2, . . ., ап данной длины h. Множество
всех произведений степеней этих элементов будет, следовательно, суммой
счетного множества конечных множеств, т. е. счетным, а поэтому и
группа G будет не более чем счетной.
Примеры 3 и 4 настоящего параграфа показывают, что существуют
счетные группы, не имеющие конечных систем образующих. Группы
с конечным числом образующих составляют, следовательно, класс групп,
промежуточный между конечными и счетными группами.
Всякая подгруппа группы с конечным числом образующих будет,
конечно, не более чем счетной. В гл. 9 мы встретим, однако, примеры
групп с конечным числом образующих, некоторые подгруппы которых
не обладают конечными системами образующих. Группы с конечным
числом образующих будут специально изучаться в гл. 10.
Заметим, что таким же путем, как выше, можно доказать, что если
группа G обладает бесконечной системой образующих {без повторений)
мощности ttt, то и сама группа имеет мощность т.
Литература:
Курош А.Г Теория групп, Наука, Москва 1967г