Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом (стр. 2 из 2)
a) Проверим, удовлетворяет ли образ условию Липшица: возьмем
При
b)
При
выполнено 
.c)
при 
по определению оператора.Выполнение условий a,b,c означает что
.Для этого необходимо подобрать параметры
так, чтоб одновременно выполнялись условия: (3) (4)Покажем, что оператор Т осуществляет непрерывное отображение:
Возьмем последовательность
такую что 
Оценка выполнена на всем интервале, величина
положительна и конечна, отсюда следует, что при | 
также стремится к нулю, а значит оператор Т переводит сходящиеся последовательности в сходящиеся, а значит он непрерывен.Компактность оператора будем доказывать по теореме Арцела, так как образ оператора лежит в пространстве
с соответствующей нормой.1)
,правая часть не зависит ни от t, ни от y, значит образ оператора – равномерно ограниченное семейство функций.
2)
Выбирая
получаем что образ оператора есть равностепенно непрерывное семейство функций.А значит, образ множества
предкомпакт, а оператор Т вполне непрерывен.Так как множество
ограничено, выпукло и замкнуто, а оператор Т компактен и действует из этого множества в себя, то по теореме Шаудера существует по крайней мере одна неподвижная точка 
из этого множества. 
, а это значит, что 
- решение системы (1),(2).Единственность:
Предположим, что при выполнении условий теоремы xиy – решения системы (1),(2) на интервале
.При
оба решении совпадают с начальными данными, а значит равны между собой. На интервале 
оценим модуль разности функций, являющимися решениями. 
Эта оценка верна для произвольного t отсюда немедленно следует, что
,Выбирая
таким малым, чтоб 
было меньше 1, получаем что 
, а значит на 
. Последовательно строя интервалы длинной закончим доказательство теоремы.4.Пример неединственности (Winston)
Для уравнения
с начальными данными 
для малых положительных tсуществует два различных решения:
Действительно, проверим, удовлетворяют ли эти функции уравнению:
Значит, система имеет два различных решения. Это происходит потому что при малых tаргумент
оказывается в окрестности -1, а при этих значениях начальные данные недостаточно гладки, не выполнено условие Липшица.Список использованной литературы
[1] HALE J. K. Theory of functional differential equations. –Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1977.
[2] Резуненко А.В. Краткое введение в обыкновенные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Харьков-2004.
[3] Кадец В.М. Курс функционального анализа. Харьков-2006.
[4] I.D.Chueshov. Introduction to the Theory of Infinite-Dimensional Dissipative Systems . «Аста»-2002.
[5] Д. Хенри. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. Москва. «Мир»-1985.
[6] Колмогоров А.Н. Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа 1976