Частные производные (стр. 1 из 4)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ЭКОНОМИКИ И ИНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА МАТЕМЕТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ЭКОНОМИКЕ

РЕФЕРАТ

НА ТЕМУ:

“ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ”

ВЫПОЛНИЛ:

СТУДЕНТ II КУРСА ГР. И-04-2

ПИВКОВ В.А.

ПРОВЕРИЛ:

ВОРОНОВА Е.А.

г. Липецк - 2006

Содержание.

I. Функции нескольких переменных.

II. Частные производные

III. Частные производные и дифференциалы высших порядков

Список литературы

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПРЕМЕННЫХ.

Определение функции нескольких переменных.

Переменная zназывается функцией двух независимых переменных x и y, если некоторым парам значении x и y по какому – либо правилу или закону ставится в соответствие определенное значение z.

Множество G пар значений x и y, которые могут принимать переменные x и y, называется областью определения функции, а множество всех значений, принимаемых z в области определения, - областью значений функции z. Переменные x и называются аргументами функции.

Пара чисел x и y определяет положение точки M на плоскости xOy с координатами x и y. Поэтому функцию двух переменных можно рассматривать либо как функцию двух переменных

можно рассматривать как функцию точки M , либо как скалярную функцию векторного аргумента .

Каждой тройке (x; y; z) в пространстве Oxyz соответствует точка M(x; y; z). Совершенно аналогично случаю двух переменных можно дать определение функции трех переменных

. Областью определения функции трех переменных будет все пространство или его часть.

Аналогично можно дать определение функции четырех и более переменных.

1.2 Предел функции двух переменных.

Множество точек M(x; y), координаты x и y которых удовлетворяют неравенству

или называется δ-окрестность точки .

Определение. ЧислоA называет пределом функции

при стремлении точки M к точке , если для любого ε>0 существует такое δ>0, что для всех точек M из области определения этой функции, удовлетворяющих условию имеет место неравенство . Обозначают это так: или

Функция

называется бесконечно малой при если

1.3 Непрерывность функции двух переменных.

Пусть точка

принадлежит области определения . Определение. Функция называется непрерывной в точке если

или причем точка M стремится к M₀ произвольным образом, оставаясь в области определения функции.

Обозначим

, . Полным приращением при переходе от точки , к точке M называется разность значении функции в этой точке , т.е.

Частные производные.

2.1 Частные производные.

Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных

в точке частные производные определяются так:

,

,

если эти пределы существуют. Величина

называется частным приращением функции z в точке по аргументу . Используются и другие обозначения частных производных:

, , , ,

, , , .

Символы

, , , как дроби трактовать нельзя (в этом отличие от случая одной переменной).

Из определения следует геометрический смысл частной производной функции двух переменных: частная производная

- угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности и плоскости в соответствующей точке.

Пользуясь понятием скорости изменения переменной, можно сказать, что частная производная

есть скорость изменения функции относительно при постоянном .

Из определения частных производных следует, что правила вычисления их остаются теми же, что для функций одной переменной, и только требуется помнить, по какой переменной ищется производная.

Пример 1. Если

, то , .

Пример 2. Если

, то , . Величина называется изотермическим коэффициентом упругости идеального газа.

Аналогично определяются и обозначаются частные производные функции трех и большего числа независимых переменных.

2.2 Полный дифференциал.

. (1)

Если приращение (1) можно представить в виде

, (2)

Где Аи В не зависят от

и , а и стремятся к нулю при стремлении к нулю и , то функция называется дифференцируемой в точке , а линейная часть приращения функции (т.е. та часть , которая зависит от и линейно) называется полным дифференциалом (или просто дифференциалом) этой функции в точке и обозначается символом :