Частные производные (стр. 4 из 4)

Здесь

. Оказывается, имеет место следующая теорема.

Теорема. Смешанные производные второго порядка равны, если они непрерывны:

=
.

Следствие. Смешанные производные высших порядков равны, если они непрерывны и получены в результате дифференцирования по одним и тем же переменным одинаковое число раз, но может быть в разной последовательность.

Покажем это на примере:

т.е.

Здесь мы дважды пользовались только что отмеченной теоремой: первый раз применительно к функции

(мы изменили порядок ее дифференцирования), второй раз использовали равенство

. В общем случае схема рассуждений аналогична.

3.2 Признак полного дифференцирования.

Выясним, при каких условиях выражение

, (1)

где

непрерывны и вместе со своими частными производными первого порядка, является полным дифференциалом некоторой функции

, или, кратко, полным дифференциалом.

Теорема. Выражение (1) есть полный дифференциал тогда и только тогда, когда выполнено равенство

3.3. Дифференциалы высших порядков.

Заметим прежде всего, что для функции нескольких переменных справедливы те же общие правила дифференцирования, что и для функции одной переменной:

II.

III.

IV.

Пусть имеется функция

независимых переменных xиy, обладающая непрерывными частными производными второго порядка. Рассмотрим ее полный дифференциал

(dxиdy – произвольные приращения), который назовем полным дифференциаломпервого порядка (или, кратко, первым дифференциалом).

Так как

по предложению имеют непрерывные частные производные первого порядка, то от функции

, в свою очередь, можно взять полный дифференциал

. Так получим полный дифференциал второго порядка (или, кратко, второй дифференциал), который обозначается

Аналогично, потребовав существование непрерывных частных производных третьего, четвертого, п-го порядков, можно получить полные дифференциалы соответственно третьего, четвертого, п-ого порядков.

Найдем выражения для второго дифференциала через частные производные. Пользуясь правилами I, III (dxиdy не зависят отxиy, т.е. рассматриваются как постоянные) и приведенной в п. 3.1 теоремой, можно записать:

(2)

(здесь

Формула (2) обобщается на случай дифференциала п-го порядка.