Частные производные (стр. 3 из 4)

,

или, короче,

. (7)

Формула (7) называется формулой производной сложной функции.

Пример 1. Пусть

, , . По формуле (7) имеем:

.

Предположим, в частности, что роль независимой переменной играет, т.е. рассмотрим функцию

, где . Согласно формуле (7) будем иметь:

, (8)

так как

. В формуле (8) - частная производная по первому аргументу функции двух переменных , а - обычная производная сложной функции одной переменной x: . Последнюю производную будем называть полной производной функции. В случае, когда , где , аналогично получает:

(

- частная производная по второму аргументу функции , - полная производная функции одной переменной y: ).

Пусть теперь

, ( здесь предполагается существование первых производных функций , по и ). В этом случае z будет функцией двух независимых переменных и . Следовательно, для этого случая формулу (7) нужно переписать в виде

. (9)

Аналогично

. (10)

Пример 2. Если

, где , от , .

Из формул (9) и (10) видно, что символ частной производной, как уже отмечалось выше, нельзя трактовать как дробь. В самом деле, если бы можно было сократить на

и , то из формул (9) и (10) получили бы, что

и .

2.3 Неявные функции и их дифференцирование.

Если уравнение, с помощью которого задается функция одной переменной x, не разрешено относительно y, то эта функция называется неявной. Разрешая это уравнение относительно y, мы получаем ту же функцию, но уже заданную в явной форме. Однако часто бывает, что разрешить такое уравнение относительно yневозможно (например,

) или нецелесообразно; в этом случае уравнение так и оставляют неразрешенным, в общем виде (когда все его члены перенесены в левую часть):

. (11)

В связи с этим встает вопрос о том, как найти производную неявной функции, не разрешая уравнения (11) относительно у.

Если в уравнении (11), определяющем неявную функцию

, задавать значения независимой переменной х, то для нахождения соответствующего значения у надо решать уравнение. Теперь, если в это уравнение подставить его решение, то получится тождество. Поэтому можно сказать также, что неявная функция , определенная уравнением (11), - это такая функция, которая, будучи подставлена в уравнение (11), обращает его в тождество. Дифференцируя это тождество по x согласно правилу дифференцирования сложной функции, получим:

.

Отсюда при

вытекает формула для производной неявной функции

. (12)

Пример 1. Пусть y как функция от xзадана соотношением

. Найти .

Для

имеем: , и согласно формуле (12)

.

Пусть уравнение

(13)

Определяет z как неявную функцию

независимых переменных xиy.

Пользуясь формулой (12), из равенства (13) имеем:

, . (14)

Пример 2. Найти частные производные неявной функции z, заданной уравнением

.

Согласно формулам (14)

,

Частные производные и дифференциалы высших порядков.

3.1 Частные производные высших порядков.

Частные производные функции нескольких переменных сами являются функциями этих переменных и могут иметь частные производные. Для исходной функции эти последние производные будут частными производными второго порядка. Так, для функции

двух независимых переменных можно определить (предполагается, что все производные существуют) четыре частные производные второго порядка, которые обозначаются символами

, ,

, .

Частные производные

и , отличающиеся порядком дифференцирования, называются смешанными частными производными второго порядка.

Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и старших порядков.

Пример. Найти частные производные второго порядка функции

.

Имеем:

, ,,

, , , .