Частные производные (стр. 2 из 4)

. (3)

Из определения дифференцируемости функции следует, что если данная функция дифференцируема в точке

, то она в этой точке непрерывна.

Действительно, если в точке

функция дифференцируема, то для этой точки представимо в форме (2), откуда следует, что

,

а это и означает, что в точке

функция непрерывна.

Из дифференцируемости функции в данной точке следует существование ее частных производных в этой точке (необходимое условие дифференцируемости).

В самом деле, пусть функция

в точке дифференцируема. Тогда имеет место соотношение (2). Полагая в нем , имеем:

.

Деля на

и переходя к пределу при , получаем:

.

Это означает, что в точке

существует частная производная функции по и . (4)

Аналогично доказывается, что в точке

существует частная производная

. (5)

Используя формулы (4) и (5), можно переписать выражение (3) в виде

.

Если положить

, то , т.е. . Аналогично, полагая , получим . Значит, дифференциалы независимых переменных совпадают с приращениями этих переменных, и можно записать дифференциал (3) в следующем виде: .

Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Если функция

имеет частные производные в некоторой окрестности точки

и эти производные непрерывны в самой точке

, то эта функция дифференцируема в точке

.

Доказательство. Дадим переменным

и столь малые приращения и , чтобы точка не вышла за пределы указанной окрестности точки . Полное приращение можно записать в виде .

Каждая из этих разностей представляет частное приращение функции. Преобразует каждую из этих разностей по формуле Лагранжа. Получим:

(6)

Так как производные

и непрерывны в точке , то

,

Отсюда

, , где и - бесконечно малые при , . Подставляя эти значения в равенство (6), находим:

,

а это и означает, что функция

дифференцируема в точке .

2.3 Производные и дифференциал сложной функции.

Пусть

, где , . Тогда в конечном итоге z будет функцией одной переменной t. Предположим, что , непрерывны и , существуют. Найдем . Дадим переменной t приращение . Тогда x, y, а следовательно, и z получат свои приращения , и . В силу достаточного условия дифференцируемости

,

откуда

.

Устремим теперь

к нулю. Тогда и будут стремиться к нулю, так как функции xиy непрерывны (мы предположили существование производных и ), а потому и будут стремиться к нулю. В пределе получим: